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例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

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例題:多項式方程式根與係數的關係,應用例題

引用:
x^3-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值?
我下面的過程,原理很簡單,可是手續很繁雜,僅供參考,拋磚引玉,期待其他人更短的解答!

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c ,由根與係數關係(Viète's formulas)可得

a+b+c = 0
ab+bc+ca=-3
abc=4

另外還有的關係式有
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

以及
a^3-3a-4=0
b^3-3b-4=0
c^3-3b-4=0


((((下面進入主題))))

第一區塊

由於 a+b+c=0 ,

所以 -a=b+c, -b=a+c, -c=a+b

因此

本題所求=
(a-b)(b-c)(c-a) = (a+(a+c)) (b+(a+b))(c+(b+c))
         = (2a+c)(2b+a)(2c+b) ....................*


第二區塊

本題所求=
(a-b)(b-c)(c-a) = (a+b+c-(2b+c))(a+b+c-(2c+a))(a+b+c-(2a+b))
        = (0-(2b+c))(0-(2c+a))(0-(2a+b))
         = -(2b+c)(2c+a)(2a+b) ....................**


由 * 跟 ** 的相乘,可得

(本題所求)^2=
((a-b)(b-c)(c-a))^2 = -(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)
          ..............................................***

第三區塊

利用 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4
將 x 以 -2a 帶入可得 -3a(2a+b)(2a+c) = (-2a)^3-3(-2a)-4
                  = -8a^3+6a-4
(利用a^3-3a-4=0 將 a^3=3a+4 帶入)   = 18(-2-a)

將上式左右同除 -3a
可得 (2a+b)(2a+c) = 18(-2-a) / (-3a)

同理,將以上步驟改成將 x 以 -2b 帶入,可得
= 18(-2-b) / (-3b)

同理,將以上步驟改成將 x 以 -2c 帶入,可得
(2c+a)(2c+b) = 18(-2-c) / (-3c)

將以上三式相乘,可得
(2a+b)(2a+c)(2b+a)(2b+c)(2c+a)(2c+b) = (18^3)*(-2-a)(-2-b)(-2-c) / (-27abc)
                  = (18^3)*((-2)^3-3(-2)-4) / (-27*4)
                  = 18^2

上式帶入 *** ,可得
(本題所求)^2=
((a-b)(b-c)(c-a))^2 = -(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)
            = -18^2

所以,本題所求 = (a-b)(b-c)(c-a) = ±18 i

(你沒看錯,有 i ~是虛數~)




再補充一下正負兩個都是答案的原因

設 x^3-3x-4=0 實際解出之後的三根為 x1,x2,x3 ,


若取 a = x1, b=x2, c=x3 ,則
(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

若取 a = x1, b=x3, c=x2 ,則
(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x3)(x3-x2)(x2-x1)
         =-(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

a,b,c 取值不同可能剛好導致有負號差異(剛好對調奇數次),
所以 18 i 與 -18 i 都是答案。

原討論串在: http://www.student.tw/db/showthread.php?t=96491




另一種解法:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822

      (推廣:『設 p, q 是實數,且 a,b,c 是 x^3+px+q=0 的三根,則判別式=[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=-4p^3-27q^2』)

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