單選題第 2 題：
高斯符號\([x]\)，表示不大於\(x\)的最大整數值。試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012} \right]\)的個位數字(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
[解答]
因為 \(\left(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\right)^4=49\pm20\sqrt{6}\)

所以 \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2012}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2012}\)

　　　\(=\left(49+20\sqrt{6}\right)^{503}+\left(49-20\sqrt{6}\right)^{503}\)

　　　　（將上式以二項式定理展開後合併，偶數項都會對消掉，奇數項～除第一項以外～都是 \(10\) 的倍數）

　　　\(\equiv 2\cdot 49^{503}\pmod{10}\)

　　　\(\equiv2\cdot\left(-1\right)^{503}\pmod{10}\)

　　　\(\equiv-2\pmod{10}\)

　　　\(\equiv8\pmod{10}\)

且因為 \(0<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1\) ，所以 \(0<\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2012}<1\)

\(\Rightarrow \left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2012}\right]\equiv 7 \pmod{10}.\)

引用:

原帖由 sherlock 於 2014-2-27 11:53 AM 發表

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2014-2-28 10:49

煩請有空的大大幫忙解答，謝謝！

設此正多邊形為 \(n\) 邊形，且外接圓半徑為 \(R\)，

則 \(\displaystyle \overline{AB}=2R\sin\frac{\pi}{n},\overline{AC}=2R\sin\frac{2\pi}{n},\overline{AD}=2R\sin\frac{3\pi}{n}\)

由題意可知，\(\displaystyle \frac{1}{2R\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{1}{2R\sin\frac{2\pi}{n}}+\frac{1}{2R\sin\frac{3\pi}{n}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(\sin\frac{3\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

因為 \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\neq0\)

所以 \(\displaystyle \sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4\pi}{n}+\frac{3\pi}{n}=\pi\)

\(\Rightarrow n=7\)