單選 3.
\(f(x)\)為三次多項式且\(f(2010)=1,f(2011)=9,f(2012)=9,f(2013)=9\)求\(f(2014)=\)？
(A)17 (B)18 (C)19 (D)20
[解答]
何不用中學生一點的方法，除法原理、餘式定理那樣的手法
令 \( f(x) = a(x-2011)(x-2012)(x-2013)+9 \)
由 \( f(2010) = 1 \) 得 \( a = \frac43 \)，故 \( f(2014) = 8 + 9 =17 \)
其實不需要解 \( a \)，因此 2010 和 2014 代入分別是 \( \pm 6a \)
而拉氏的插值多項式，也是無須整理多項式，只接以其型帶入即可
\(\displaystyle f(x)=1\cdot\frac{(x-2011)(x-2012)(x-2013)}{(2010-2011)(2010-2012)(2010-2013)}+9\cdot\frac{(x-2010)(x-2012)(x-2013)}{(2011-2010)(2011-2012)(2011-2013)} +9\cdot\frac{(x-2010)(x-2011)(x-2013)}{(2012-2010)(2012-2011)(2012-2013)}+9\cdot\frac{(x-2010)(x-2011)(x-2012)}{(2013-2010)(2013-2011)(2013-2012)}\)
則 \(\displaystyle f(2014) = 1\cdot\frac{6}{(-6)}+9\cdot\frac{8}{2}+9\cdot\frac{12}{(-2)}+9\cdot\frac{24}{6}=-1+36-54+36=17 \)
再來個另解三次差分為常數如下：左邊(黑)是由上而下的差分，右邊
紅字，則是反向操作，由下而上逆推
| 1 | 9 | 9 | 9 | 17 |
| 8 | 0 | 0 | 8↗ | |
| -8 | 0 | 8↗ | | |
| 8→ | 8↗ | | | |
牛頓插值法基本上，和這個三次差分是一樣的吧？會失效嗎？
