方法沒有問題，但以考試來說，稍欠細節。

題目很清楚地指定「尺規作圖」

步驟 (2) 中點軌跡 →軌跡這種東西...尺規作圖做不完吧
         (3) (4) 作垂線的敘述 還可接受
         (5) 斜率是 2，這不是尺規作圖該有的東西吧。
         心裡可以這樣想，但實際還沒定坐標，寫斜率，有種怪怪的感覺

計算 1.
\(A(1,3,6)\)，\(B(5,6,6)\)，且\(S=\{\; P|\; \Delta PAB之面積大於10且周長小於15 \}\;\)，求\(S\)的體積為多少？
[解答]
首先注意到 \( \overline{AB}=5 \)，因此兩限制條件可轉換成

\( P \) 到 \( \overline{AB} \) 的距離大於 4，以及 \( P \) 在某橢球內，其該該橢球為一轉旋體，以 \( \overline{AB} \) 為轉軸，將某個以  \( A, B \) 為焦點，長軸為 10 的橢圓旋轉一圈。

我們可以平移及轉動這個圖形，其體積保持不變，故可重新假設 \( A(-\frac52,0,0),  B(\frac52,0,0), P(x,y,z) \)

則兩限制條件可轉為 \( y^2+z^2 \geq 16 \) 及 \( \frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1 \)

令 \( R = \{(x,y,z)\mid\sqrt{y^{2}+z^{2}}\geq4,\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1\} \)，及同時滿足兩條件的共同區域。

所求體積  \(V = \int_R 1 dzdydx \)，將 \( y, z \) 用極坐標代愌之，可得

\( V = \displaystyle \int_{-\sqrt{\frac{11}{3}}}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\int_{4}^{s}\int_{0}^{2\pi}rd\theta drdx \)，其中 \( s=\sqrt{\frac{75-3x^{2}}{4}} \)。

積分可得 \( V = \displaystyle 2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}r^{2}\Big|_{4}^{s}dx=2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\frac{11-3x^{2}}{4}dx=2\pi(\frac{11}{4}\sqrt{\frac{11}{3}}-\frac{11}{12}\sqrt{\frac{11}{3}})=\frac{11}{3}\sqrt{\frac{11}{3}}\pi \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-28 06:53 PM 編輯 ]

還是一樣的遞迴想法討論：

1 號 拿到某到人的帽子，假設是 2 號的好了，那就分成兩種情形：① 2 號也拿到 1 號的帽子 ② 2 號沒有拿到 1 號的帽子。

① 之情形，就是剩下 \( n-2 \) 的原問題，也就是 \( f_{n-2} \)

② 2 號沒有拿到 1 號的帽子，下的是問題是 2 號不拿 1 號帽，3 號不會拿 3 號帽.... n 號不能拿 n 號帽。
其實就是原來 n-1 個人的問題了(偷偷重新編號)，所以這種情形有 \( f_{n-1} \)

綜合兩情形，再考慮 1 號可拿其它帽子，就是 \( f_n = (n-1) ( f_{n-1} + f_{n-2}) \)

第 2 題
\( A=\{\; w |\; w^{40}=1 \}\; \)，\( B=\{\; y |\; y^{42}=1 \}\; \)，\( C=\{\; z |\; z^{24}=1 \}\; \)
若\( D=\{\; wyz |\; w \in A,y \in B,z \in C \}\; \)，則\(D\)有幾個元素？
[解答]
忘記在哪邊好像看到兩個集合的版本了

將集合內的元素寫成 \( e^{i\theta} \) 之形式。考慮 \( \displaystyle D_{\theta}=\{n\cdot\frac{2\pi}{40}+m\cdot\frac{2\pi}{42}+p\cdot\frac{2\pi}{24}+q\cdot2\pi\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\} \)

如果把裡面的數看作正整數的即 \( \{na+mb+pc+qd\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\}=\{n\gcd(a,b,c,d)\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a,b,c,d\in\mathbb{N} \)。

\( \displaystyle 840\cdot D_{\theta}=2\pi\cdot\{21n+20m+35p+840q\mid n,m,p\in\mathbb{Z}\}=2\pi\cdot\mathbb{Z}\Rightarrow D_{\theta}=\{\frac{2n\pi}{840}\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a\cdot S:=\{as\mid s\in S\} \)。

故 \( |D|=840 \)。

印象中，是我給錯答案，差一項的樣子，抱歉

實心橢球的所對應的不等式，就是橢圓拿去轉出來的