第 10 題：

令 \(P(1+2t,0+t,3-2t)\)

\(\overline{PA}+\overline{PB}\)

　　\(=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}\)

　　\(=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)\)

題目轉換成：在直角坐標平面上， \(Q(t,0)\) 位於 \(x\) 軸，\(M(-2,2), N(8,-3)\)，求 \(3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值？

　　（　因為　\(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}=\overline{MQ}+\overline{QN}\)　）

　　易知 \(\overline{MQ}+\overline{QN}\) 之最小值為 \(\overline{MN}=5\sqrt{5}\)，

　　\(\Rightarrow 3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值為 \(15\sqrt{5}\)

　　此時 \(M,Q,N\) 三點共線，可解得 \(t\) 值，帶回 \(P\) 可得點坐標。

引用:

原帖由 martinofncku 於 2013-5-16 12:22 AM 發表

謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣,  只是到後面我寫成

qq.gif (5.18 KB)

2013-5-16 08:14

請問老師這樣寫可以嗎?

可以呀~ ：Ｄ

第 3 題：

\(n^3-1=\left(n^2+n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow n^3-1\equiv0\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^3\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}+20\equiv21\pmod{n^2+n+1}\)

因為 \(n^2+n+1\Bigg|n^{2010}+20\)，所以 \(n^2+n+1\Bigg|21\)

且因為 \(n\in\mathbb{N}\) ，所以 \(n^2+n+1=3,7,\) 或 \(21\)

可解得 \(n=1,2,\) 或 \(4\)

那是打錯字，前後文一起看就可以接起來了。（立即修正，感謝您。 ）

題目有給 \(n^2+n+1\Bigg| n^{2010}+20\) 。

第 7 題：（提供一個笨方法，或許有更快的方法。）

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{matrix}  2 & 1 & 2 \\  1 & -3 & -2 \\  4 & 1 & 3 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle B=\left[\begin{matrix}  4 & 6 & 8 \\  -1 & 0 & 1 \\  7 & 11 & 15 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle C=\left[\begin{matrix}  1 & 2 & 3 \\  2 & 4 & 5 \\  3 & 5 & 6 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle D=\left[\begin{matrix}  a & 5 & 6 \\  7 & b & 11 \\  9 & 12 & c \end{matrix}\right]\)，

\(E\) 表示由左方矩陣到右方矩陣所做列運算對應的基本矩陣的乘積，

則 \(EA=C\) 且 \(EB=D\)，

\(\Rightarrow E=CA^{-1}\) 且 \(E=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow CA^{-1}=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow D=CA^{-1}B=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-7 & -1 & 4\\ -11 & -2 & 6\\ 13 & 2 & -7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}4 & 6 & 8\\ -1 & 0 & 1\\ 7 & 11 & 15\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 5 & 6\\ 7 & 9 & 11\\ 9 & 12 & 15\end{matrix}\right]\)