感謝提供試題。

隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令 \( X_i \)  i.i.d. 的白努力試驗，滿足 \( X_i = 0 \) 或 1，而且 \( P( X_i=1) =p \)

則 \( X_1+X_2+X_3+\ldots+X_n \) 和 \( X \) 有相同之分布，故期望值和變數異皆相相等。

而得 \( E(X) = np \), \( \mbox{Var}(X) = np(1-p) \)

三平面這題

令 \( \vec{n_i} = (a_i,b_i,c_i) \)。若 \( \Delta \neq 0 \) ，則方程式有唯一解，而得三平面交於一點，故 \( \Delta = 0 \)，所以 \( \vec{n_i} \)'s 線性相依。

不失一般性可假設 \( \vec{n_3} = \alpha \vec{n_1} + \beta \vec{n_2} \)

將第三式減法 ( 第一式乘法 \( \alpha \) 及第二式乘上 \( \beta \) ) 可得一新的方程組，記之為

\( \begin{cases}
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z & =d_{1}\\
a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z & =d_{2}\\
0x+0y+0z & =\gamma
\end{cases} \)，其中 \( \gamma = d_3 - \alpha d_1 - \beta d_2 \)。

由三平面相交之情，得 \( \gamma \neq 0 \) 和 \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)
(感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)

注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。

故 \( \Delta_x, \Delta_y, \Delta_x = \gamma \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 ]

寫寫 12 題

\( \frac{\sin 9x}{\sin x}+\frac{\cos 9x}{\cos x} = \frac{2\sin 10x}{\sin 2x}\)。

令 \( t = 2x \)，則上式為 \( \frac{2\sin 5t}{\sin t} \)。

由和角公式、及 \( |\cos x|\leq 1 \) 可遞推得 \( |\sin nt| \leq n |\sin t|, n \in \mathbb{N} \)

故得 \( -10 \leq \frac{2\sin 5t}{\sin t} \leq 10\)，而當 \( t \to 0 \) 時，其值收斂至 10；當 \( t \to \pi \) 其值收斂至 \( -10 \)
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------

原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了

令 \( y=\sin t \)

則 \( \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\
& =16y^{5}-20y^{3}+5y
\end{aligned} \)

當 \( \sin t\neq0 \)，時 \( \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4} \)

而 \( 0 < y^2 \leq 1 \)，故其值域為 \( [-\frac{5}{2}, 10) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 ]

對，是個筆誤，謝謝！

第8題.

\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases}  \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 \) (\( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \))。

又 \( a_{1}+a_{2}=1 \)，故得 \( a_{n}+a_{n+1}=n \)。

第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下

\(\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)，故 \(\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)

其為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx \) 之黎曼和，故其極限為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 \)。

計算 12 試著玩看看，難然沒有用到  5 倍角，但不見得比較高明

令 \( t=2x \)，則 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=\frac{\sin10x}{\sin2x}=\frac{\sin5t}{\sin t} \)。

注意這個過程，我們應用了二倍角公式進行化簡。如果要再玩一次，就乘個 \( \frac{\cos t}{\cos t} \) 給它，就會有

\( \frac{\sin5t}{\sin t}=\frac{\sin5t\cos t}{\sin t\cos t}=\frac{\sin6t+\sin4t}{\sin2t} \)，再令 \( y=2t=4x \)。

則又可改寫為 \( \frac{\sin3y+\sin2y}{\sin y}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)。

上面的式子，嚴謹一點，應該寫作「若 \( \sin t\neq0 \) 且 \( \cos t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

但其兩端函數在 \( t \) 使得 \( \cos t=0 \) 處，皆連續，因此可寫為 「若 \( \sin t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

故當 \( \sin x\neq0 \) 且 \( \cos x\neq0 \) 時 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)，其中 \( y=4x \)。

因此 \( \cos y=-\frac{1}{4} \) 時，上式有最小值 \( -\frac{5}{4} \)。

第8題. 不知道是示怎麼來的，我不知該說什麼

沒有想法的時候，就單純代代數字，看看可以看到什麼

\( \left\langle a_{n}\right\rangle :\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\ldots \)

自己代，應該是看得出規則(律)的