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102大同高中(部分試題)

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12.
n為正奇數,證明256整除\( n^8-n^6+n^4-3n^2+2 \)
[證明]
因式分解得\( (n^4+n^2+2)(n-1)^2(n+1)^2 \)
假設\( n=2k+1 \),\( k \in N \)
\( n^4+n^2+2=(2k+1)^4+(2k+1)^2+2=4(...)+1+1+2 \equiv 0 \pmod{4} \)
\( n^4+n^2+2 \)恆為4的倍數
\( (n-1)(n+1)=(2k)(2k+2)=4(k)(k+1) \)恆為8的倍數(連續兩個整數相乘為2的倍數)


設n為自然數,試以數學歸納法證明:\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數
(101全國聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=1#pid6023)

104.1.6補充
對任意正整數\( n \),試證:\( n^5-n \)必為\( 30 \)的倍數。
(103全國高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

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