第 3 題：

　　\(M\) 內的任何一個元素，都會出現在 \(M\) 的某 \(2^9\) 個子集合中，

　　因此，所求＝\(\displaystyle\left(-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10\right)\cdot2^9=2560.\)






第 6 題：

\(a\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3+\frac{4^3-2^3}{2}=36\)



\(b\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）

　　　　　　\(\displaystyle =2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)+\frac{4^3H_4^4-2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)}{2}\)

　　　　　　\(\displaystyle =72+\frac{2240-72}{2}=1156\)

第 4 題：

\(1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdots35!\cdot36!=\left(1!\right)^2\cdot2\cdot\left(3!\right)^2\cdot4\cdot\left(5!\right)^2\cdot6\cdots\left(35!\right)^2\cdot36\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\right)^2\cdot\left(2\cdot4\cdot6\cdots36\right)\)

　　\(=\left(1!3!5!\cdots35!\cdot2^9\right)^2\cdot\left(18!\right)\)

可見，拿掉 \(18!\) 可使得剩下各元數乘積為完全平方數。


不過，如何證明沒有其它的解呢？（唯一性）有勞各位大俠了。

填充第 1 題：

令向量 \(\vec{u}=(a,b), \vec{v}=(c,d)\)

則如下圖當此兩向量互相垂直，且 \(\vec{v}\) 有最大長度時，

qq.png (17.23 KB)

2013-9-27 00:43

可得兩者所張的平行四邊形面積有最大值為 \(\displaystyle\sqrt{2}\cdot\left(1+\sqrt{3^2+4^2}\right)=6\sqrt{2}\)