填7 (待定係數法)
ps. 我的同事 任爸 提供的解法
設A(a,0),B(0,b), a,b為正實數,
直線AB 截距式 為 \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)
代入(2,1) 得
#1# \( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 \)
所求為 a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2} \)
欲將 \( \sqrt{a^2+b^2} \) 以 不等式 去掉 礙眼的 根號
故 自令 一組 待定係數 正實數 p,q ,滿足
#2# \( p^2+q^2=1 \)
柯西
\( \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{p^2+q^2} \ge a p +b q \)
即 \( \sqrt{a^2+b^2} \ge a p +b q \)
等號成立於
#3# \( \frac{a}{p}=\frac{b}{q} \)
故所求
a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2} \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b \)
\( = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2 \) ps. 至此為與 a, b 無關之常數(亦即 只要p與q定得出來,這就是最小值)
上行的等號成立於
\( \frac{(1+p)a}{\frac{2}{a}}=\frac{(1+q)b}{\frac{1}{b}} \) 即
#4# \( (1+p)a^2= 2 (1+q)b^2 \)
將 #3# 平方得
#5# \( \frac{a^2}{p^2}=\frac{b^2}{q^2} \)
將 #4# 除以 #5# 得
#6# \( p^2(1+p)=2 q^2(1+q) \)
將 #2# 代入 #6# 得
\( (1-q^2)(1+p)=2 (1-p^2)(1+q) \)
約分得 2p-q=1
將上式 代入 #2# \( p^2+q^2=1 \)
所待定的係數已定出 \( p=\frac{4}{5} , q=\frac{3}{5} \)
此時 \( a=\frac{10}{3} , b=\frac{5}{2} \)
為了將過程盡量解釋清楚,
所以篇幅很長,請見諒.
結束前,整理一遍
OA+OB+AB
\(= a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \)
\(= a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \cdot (p^2+q^2) \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2 \)
= 10 為 最小值
---------- 正經文 結束 以下是惡搞 ----------
這時 如果要唬人
可以寫成
OA+OB+AB
\( = a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \)
\( = a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2} \)
\( \ge a+b+ ( \frac{4}{5} a +\frac{3}{5} b ) = \frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b \)
\( = [\frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{\frac{18}{5}} + \sqrt{\frac{8}{5}} )^2 \)
= 10 得 最小值
[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-5-14 06:10 PM 編輯 ]
