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102台中女中

2.
給定數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_1=\frac{1}{2} \cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1}},n=2,3,4,\ldots \)。試問\( a_{102} \)為  位數。
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{1}{2}(-1)^n=3(\; a_{n-1}-\frac{1}{2}(-1)^{n-1} )\; \)

設\( 4a_n=a_{n-1}+4 \),且\( a_1=1 \),則\( a_n \)的一般式為?
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

遞迴數列\( \langle\; a_n \rangle\; \),已知\( a_1=3 \),且\( 5a_{n+1}=3a_2+2 \),( \( n \ge 2 \),\( n \in N \) ),則\( a_n \)之一般式為?
(99中興高中,https://math.pro/db/thread-1013-1-1.html)

已知\( a_1=1 \),\( a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \),( \( n \in N \) );則\( a_n= \)?
(100麗山高中,http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6448#p6443)


11.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6}\times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6}= \)?
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)
(100中科實中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3144)


12.
求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1} \Bigg]\; \)的末三位數字為?

試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數,其中[x]表示小於或等於x的最大整數。
(2002TRML團體賽,96中一中)


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5.
求由五個平面:\( 2x+2y+z=9 \)、\( x+2y+2z=9 \)、\( x=0 \)、\( y=0 \)及\( z=0 \)所圍成之立體圖形的體積為?
[解答]
\( 2x+2y+z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle F(\frac{9}{2},0,0) \),交\( y \)軸於\(  \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \),交\( z \)軸於\( A(0,0,9) \)
\( x+2y+2z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle B(9,0,0) \),交\( y \)軸於\( \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \),交\( z \)軸於\( \displaystyle D(0,0,\frac{9}{2}) \)
兩平面還相交於\( E(3,0,3) \)

ODEF在xz平面上的點坐標依次為\( (0,0) \)、\( \displaystyle (0,\frac{9}{2}) \)、\( (3,3) \)、\( \displaystyle (\frac{9}{2},0) \)
四邊形ODEF面積為\( \displaystyle =\frac{1}{2} \Bigg\Vert\; \matrix{0 & 0 & 3 & \frac{9}{2} & 0 \cr 0 & \frac{9}{2} & 3 & 0 & 0} \Bigg\Vert\;=\frac{27}{2} \)

ODEFC體積為\( \displaystyle =\frac{1}{3} \times \frac{27}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{81}{4} \)

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2013-6-16 11:10

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