計算證明題

第一題(8分)，數據忘了，等價於【高中數學101】P.235的第6題，答案是5。

第二題(10分)，數據 \(\Large \sqrt{2},\sqrt{4},\sqrt{6},...,\sqrt{2n}\) 的算術平均為 \(\Large A_{n}\) ，標準差為 \(\Large \sigma_{n}\) 。求 \(\displaystyle \Large \lim_{n \to \infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}\)=?

第三題(10分)，函數  \( f(x)=x^3+ax\) 上以 P(?,?) 為切點的法線亦為此函數的切線。證明：實數 \(a>1\)。 (不太確定 ^^!!)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 11:37 AM 編輯 ]

填充第8題

經過疊代可觀察出 \(x_n=10^n+4^n \cdot a\) 和 \(y_n=10^n-4^n \cdot a\)

因此所求 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n}log\overline{OP_n}=\lim_{n \to \infty}log\sqrt[n]{100^n+16^n \cdot a}=log100=2\)


備註：如果不經過疊代的話，也可以用遞迴關係式來推。
由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 和 \(y_{n+1}=3x_n+7y_n\) 可求得 \(x_{n+1}+y_{n+1}=10(x_n+y_n)\)
因此 \(\{x_k+y_k\}\) 為等比數列，且首項 \(x_0+y_0=2\)，所以一般項為 \(x_n+y_n=2 \cdot 10^n\)
然後再由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 將 \(y_n\) 替換掉可得 \(\{x_k\}\)的遞迴關係式為 \(x_{n+1}=4x_n+6 \cdot 10^n\)
......以下省略 ^^!!
只是這樣的方法有點慢，還是觀察比較快，呵呵
不過小弟在考場就是用遞迴在推，而且當時還推不出來，殘念 @@
同事是用矩陣論解這題，但線代忘光了，待人補吧 ^^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:31 PM 編輯 ]

填充第12題

\(\displaystyle\left[\frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=\left[\frac{[(10^{670})^3+1]+2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=\left[(10^{670})^2-(10^{670})+1+\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=(10^{670})^2-(10^{670})+1+\left[\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)

\(\displaystyle=10^{1340}-10^{670}+1\)

\(\displaystyle=......001\)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:47 PM 編輯 ]

填充第4題

若 \(a_6=-1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_6=1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^6\) 種。
若 \(a_6=0\) ，則換討論 \(a_5\) 。

若 \(a_5=-1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_5=1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^5\) 種。
若 \(a_5=0\) ，則換討論 \(a_4\) 。

......
依此類推，即可知此題的答案為 \(3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+1=1093\)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 07:05 PM 編輯 ]

請教各位填充第5、9題，(第9題我不知道在哪裡算過一次 @@!!)