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102文華高中

填充題 2. 求下列的級數和:

(1×2)+(1×2+2×3)+(1×2+2×3+3×4) +...+ (1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n) = ?

(在 17# 與 34# 有解法)


另解:

先提出 "2" 後,每個乘積皆為 C(k, 2) 之形式。

運用二次巴斯卡定理,所求 = 2 * [ C(3,3) + C(4,3) +…+ C((n+1),3) ] = 2 * C((n+2),4) = n(n-1)(n+1)(n+2) / 12

此結果亦可如下詮釋: 提出 "2" 後,級數可與 "由數字 1, 2, ..., (n+2) 當中選取 4 個的組合數" 對應: 第 k 個 (...) 表示選取的最大數為 (k+3)



填充題 10.

非計算題或許可用如下的 "觀察法"。

考慮 P 點在 CD 上移動時,△ADP 與 △CPQ 面積變化值的比值,其為一連續函數。

由此可體會,△ADP 與 △CPQ 的面積和為最小時,AP/AQ = 1/√2 = DP/CD

故所求 DP = CD/√2 = 2√2

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