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第 11 題:(應該可以看得出來題目中的 \(f(a,b)\) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」)
五個數據 \((x_i,y_i) 為 (28, 61), (29,62), (30, 60), (31, 58), (32, 59)\) 以最小平方法所得之迴歸直線 \(y=a+bx\)
此迴歸直線必通過 \((\overline{x}, \overline{y}) = (30, 60)\)
且斜率為 \(\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)^2}=\frac{(-2)\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot0+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)}{2^2+1^2+0^2+1^2+2^2}=\frac{-4}{5}\)
因此,此迴歸直線方程式為 \(\displaystyle y-60=\frac{-4}{5}\left(x-30\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow y=84-\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(84, -\frac{4}{5})\)
註:另外一個求迴歸直線 \(a+bx=y\) 的公式 \(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n 1\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)b=y_i\\ \left(\sum_{i=1}^n 1\cdot x_i\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot x_i\right)b=y_i\cdot x_i \end{matrix}\right.\) 如下篇回覆被寸絲給解走了~XDD