試題及答案，如附件。

計算題：
（資料來源：http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html ）

1.平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，
  若AOBC為平行四邊形，其中直線AB與圓不相交，若圓
  上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
  (1)試證：P點為OC與圓的交點
  (2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值


2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
  其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
  且BAD=60度，BCD=120度，求ABCD面積

第 11 題：（應該可以看得出來題目中的 \(f(a,b)\) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」）

五個數據 \((x_i,y_i) 為 (28, 61), (29,62), (30, 60), (31, 58), (32, 59)\) 以最小平方法所得之迴歸直線 \(y=a+bx\)

此迴歸直線必通過 \((\overline{x}, \overline{y}) = (30, 60)\)

且斜率為 \(\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)^2}=\frac{(-2)\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot0+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)}{2^2+1^2+0^2+1^2+2^2}=\frac{-4}{5}\)

因此，此迴歸直線方程式為 \(\displaystyle y-60=\frac{-4}{5}\left(x-30\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow y=84-\frac{4}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(84, -\frac{4}{5})\)




註：另外一個求迴歸直線 \(a+bx=y\) 的公式 \(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n 1\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)b=y_i\\ \left(\sum_{i=1}^n 1\cdot x_i\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot x_i\right)b=y_i\cdot x_i \end{matrix}\right.\) 如下篇回覆被寸絲給解走了～ＸＤＤ

第 5 題：

因為 \(x,y,z\) 的最小公倍數為 \(360\)，

所以可以知道 \(x,y,z\) 三數皆頂多為三位數，

因此 \(a\) 的可能值個數 與有序數組 \((x,y,z)\) 的可能組數一樣多。

\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\)

先來研究 \(2^3\) 的可能分布情形，\(x,y,z\) 中至少有一個數恰含 \(2^3\) 的因數（其他數中 \(2\) 的次方數皆小於或等於 \(3\)），

因此 \(2^3\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (3+1)^2-C^3_2\cdot(3+1)+C^3_3 = 37\) 種

同理，\(3^2\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (2+1)^2-C^3_2\cdot(2+1)+C^3_3 = 19\) 種

　　　\(5^1\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (1+1)^2-C^3_2\cdot(1+1)+C^3_3 = 7\) 種

所以，滿足條件的有序數組 \((x,y,z)\) 有 \(37\times19\times7=4921\) 組數，

即 \(a\) 的可能值個數有 \(4921\) 個。

第 7 題：

令 \(z^5-i=0\) 的五根為 \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5\)，且令 \(z_0=1+i\)

則 \(z^5-i = \left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)\left(z-z_5\right)\)

\(\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}\)

　　\(=\left|z_0-z_1\right|\cdot\left|z_0-z_2\right|\cdot\left|z_0-z_3\right|\cdot\left|z_0-z_4\right|\cdot\left|z_0-z_5\right|\)

　　\(=\left|z_0^5-i\right|\)

　　\(=\left|\left(1+i\right)^5-i\right|\)

　　\(=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)

　　\(=\left|\left(2i\right)\cdot\left(2i\right)\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)

　　\(=\left|-5i-4\right|\)

　　\(=\sqrt{41}\)


後註：我（回覆）怎麼總慢一步～囧rz......

填充第 2 題：

先看一般項 \(\displaystyle \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^m \Bigg(k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)\Bigg) = \frac{1}{3}m(m+1)(m+2)\)

所求＝\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1} \Bigg(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\Bigg) = \frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(n+2)\)

第 12 題：

設題目所求之數為 \(a\)，且三次除法的商數與餘數分別為 \(q_1,q_2,q_3\) 與 \(r_1, r_2, r_3\)，則

\(63 = a\cdot q_1 + r_1\)
\(91 = a\cdot q_2 + r_2\)
\(129 = a\cdot q_3 +r_3\)

\(\Rightarrow 283 = a(q_1+q_2+q_3) + 25\)

\(\Rightarrow a(q_1+q_2+q_3) = 258\)

\(\Rightarrow a \Bigg| 258\)

且因為 \(258=2\cdot3\cdot43\) 以及 \(a\leq 63\)（否則餘數 \(r_1\) 就會是 \(63\)，超過 \(25\) 了）

且由 \(25=r_1+r_2+r_3<3a\Rightarrow a>8\)，可得 \(a=43\)

填充第 2 題另解，


\(\displaystyle\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m k\left(k+1\right) = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\frac{k\left(k+1\right)}{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k i = 2 \sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\sum_{i=1}^k \sum_{p=1}^i 1\)


\(\displaystyle= 2\times\)（對於固定正整數 \(n\)，計算滿足條件 \(1\leq p\leq i\leq k\leq m\leq n-1\) 的有序數組 \((p,i,k,m)\) 整數解之組數）

\(\displaystyle= 2H^{n-1}_4= 2 C^{n+2}_4 = \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)}{12}\)

學弟，沒那麼誇張吧，哈～只是碰巧想到的而已。　＝＝

幫我一起來想看看還有沒有什麼題目也有其它有趣的另解吧。：Ｄ

第 15 題：
雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為[u]　　　[/u]。
[解答]
丟兩顆骰子，點數和為 \(7\) 的機率＝\(\displaystyle \frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}\)

設所求期望值為 \(x\)，則 \(\displaystyle x=\frac{1}{6}\left(100+x\right)+\frac{5}{6}\cdot30\Rightarrow 50\)