計算 3(2) 提供一個另解

令 \( \alpha=\frac{c-b}{\Delta}, \beta=\frac{a-c}{\Delta}, \gamma=\frac{b-a}{\Delta} \)，其中 \( \Delta=(a-b)(b-c)(c-a) \)。

再令 \( x_{n}=\alpha a^{n}+\beta b^{n}+\gamma c^{n}, y=abc \)，則 \( a, b, c \) 滿足三次方程式 \( t^{3}-3t^{2}-18t-y=0\Rightarrow t^{3}=3t^{2}+18t+y \)。

故有 \( x_{n+3}=3x_{n+2}+18x_{n+1}+yx_{n} \)。

而 \( x_{0}=0, x_{1}=\frac{ac-ab+ba-bc+cb-ca}{\Delta}=0, x_{2}=1 \) by (1)

因此\( x_{3}=3+0+0, x_{4}=3\cdot3+18\cdot1+0=27 \)。

其中 \( x_3, x_4 \) 即為 \( \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \) 和 \( \frac{a^4}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^4}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)

7(2)「若已知兩次均投擲同一枚的條件」的條件是「第一次丟出正面」。

而對第二次沒有任何限制，你的算式中分子多乘了一次，分母用第一小題的數字也不對

應該，做的太順手，被拐過去

那乾脆把這美麗的誤會繼續玩下去

改成：一直擲，過程中，會連續出現兩次正面的機率。

直覺上的答案應該是 1，計算如下，以 A, B, C 三數代表，由 A, B, C 硬幣開始擲會連續出現兩次的機率

則有以下遞迴關係

\( \begin{cases}
A & =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C)\\
B & =\frac{9}{100}+\frac{91}{100}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}C)\\
C & =\frac{9}{25}+\frac{16}{25}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B)
\end{cases} \)

其中，若由 A 開始，兩次內，有可能連續二次正面，亦有可能出現反面後改擲 B 或 C。

解聯立方程式可得 \( A=B=C=1 \)，故在此誤會情況下，所求 \( \frac{A+B+C}{3} =1 \)

話說，這類的問題，應該是有機會用 Borel-Cantelli Lemma 去處理，說它的補事件的機率為 0

也來一點個人的想法：那個證明手法，每次看完之後就忘了，到底有幾次...至少也有5-6 次以上吧。

所以只好用證明 \( n \) 個數的算幾的那招方法來證廣義柯西：多用幾次柯西不等式，可以先做出 \( n \) 為 2 的冪次的結果。

當 \( n \) 不是 2 的冪次時，用幾何平均把它補到 \( 2^k > n \) 個，即令 \( a = \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \), \( b = \sqrt[n]{b_1b_2\cdots b_n} \)。

這樣的 \( (a+b) \) 要補 \( 2^k - n \) 個，再利用 \( 2^k \) 的結果，即得

\(\left[\prod\limits _{j=1}^{n}(a_{j}+b_{j})\right]\times(a+b)^{2^{k}-n}\geq\left[\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}a_{j}\right)\times a^{2^{k}-n}}+\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}b_{j}\right)\times b^{2^{k}-n}}\right]^{2^{k}} \)

而右式中，因 \( a , b \) 分別為 \( a_j, b_j \) 的幾何平均，故右式 \( = (a+b)^{2^k} \)

再與左式相約，即得 \( \prod_{j=1}^n (a_j+b_j) \geq (a+b)^n \)，開 n 次方，即得證之。

哈~你的補充說明，倒是讓人不意外，在下的看法也是一樣，見 #2

記得去年(101年) 師大附中的計算第一題 \( a>0, b>0, \theta \) 為銳角，求 \( \frac{a}{\cos \theta} + \frac{b}{\sin \theta} \) 的最小值。

即便這題不是直接考廣義柯西的等價式子，直接用廣義柯西不等式的考生也是被扣了 5 分 (本題滿分 9 分)。

師大附中的出題和閱卷，沒意外應該都是師大的教授，由此可見其對「廣義柯西」的定位。

101附中，這題應用廣西柯西的解法，都被扣了超過一半的分數。北市能力競賽或102 中正這題廣義柯西的等價式子，自然是拿不到分的

至於二項式定理展開 + 算幾不等式，乍聽之下很暴力，但實際一做卻不是想條的這麼難做，也是個好方法！

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 06:59 PM 編輯 ]