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102中正高中

回復 3# simon112266 的帖子

填充1
觀察係數
\(\displaystyle 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6 \)
\(\displaystyle =6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+6x^2+5x^2-6x+5x-6 \)
\(\displaystyle =(6x^6+6x^3+6x^2)+(5x^5+5x^2+5x)-(6x^4-6x-6) \)
\(\displaystyle =(x^4+x+1)(6x^2+5x-6) \)

計算3(2)
\(\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0 \)

所以求值式
\(\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}-\frac{c^4}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^4}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{a-c)(a^3+a^2c+ac^2+c^2)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3}{(b-a)(b-c)} \)

\(\displaystyle =\frac{(a^3-b^3)+(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2)}{a-b} \)

\(\displaystyle =a^2+ab+b^2+ac+bc+c^2 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 08:19 AM 編輯 ]

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填充5
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \) 為 n 的二次函數
推廣成 x 的二次函數, \(\displaystyle f(x) \) 滿足 \(\displaystyle f(2013)=3102,f(3102)=1302,f(0)=0 \)
於是
\(\displaystyle f(x)=3102 \times \frac{x(x-3102)}{2013(2013-3102)}+1302 \times \frac{x(x-2013)}{3102(3102-2013)} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 04:38 PM 編輯 ]

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回復 28# tsusy 的帖子

這兩種解法也太強大!!!
比我的好多了,我的解法很難寫......
我是先除以 \(\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \) ,

並令  \(\displaystyle \frac{b_i}{a_i}=r_i \)

變成  \(\displaystyle \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2) \cdots (1+r_n)} \ge 1+\sqrt[n]{r_1r_2 \cdots r_n} \)

這就跟之前有人PO過的這個年度學科能力競賽台北市複賽其中一題一樣了。
接著兩邊n次方後用二項式定理和算幾不等式完成。
補充,據說北市複賽講評時,教授說此題用廣義柯西不得分。

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