填充第 8 題：
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？
[解答]
拋磚引玉一下，小弟的作法有點繁瑣～而且答案有兩個～＝＝？　

有勞大家幫忙 debug 了！：Ｐ

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令 \(a_2 = r\)，則

觀察一下數列：

\(a_1 = 1\)

\(a_2 = r\)

\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)

\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)

\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)

\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)

\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)

\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)

\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)

\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)

可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)

（應該可以用數學歸納法證明這件事～：Ｐ）

由 \(a_9+a_{10}=646\)，可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)

若 \(r=5\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times8=16\)

若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000  \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times7+1=15\)

第 9 題：
若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為　　　。
[解答]
已知 \(a>0, b>0\)

由柯西不等式，可得

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+3}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\geq\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+3}\right)^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\right)^2}{a+b+4}\leq 2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\leq \sqrt{2}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+3}}{1}\Leftrightarrow a=b+2\)

第 1 題：
設\(n\)為大於1的正整數，若\(n^2+3n+11\)為兩相鄰正奇數的乘積，則\(n=\)　　　。
[解答]
依題意可令 \(\displaystyle n^2+3n+11 = (2k-1)(2k+1)\)，其中 \(k\) 正整數，

\(\displaystyle \left(n+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4} = 4k^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(4k\right)^2 - \left(2n+3\right)^2= 39\)

可得 \(\displaystyle \left(4k-2n-3\right)\left(4k+2n+3\right)=39\)

且因為 \(n,k\) 皆為正整數，所以 \(4k+2n+3>4k-2n-3\) 且兩者皆為正整數，

所以

case 1: \(\displaystyle 4k-2n-3=1, 4k+2n+3=39 \Rightarrow k=5, n=8\)

case 2: \(\displaystyle 4k-2n-3=3, 4k+2n+3=13 \Rightarrow k=1, n=1\) （不合）