前幾天遇到校內的實習老師也有問這題，剛好被路過的同事給順手解掉了～

依稀記得那位同事好像是這樣解的～

題目：

當 \(x\leq -1\) 時， \((m-m^2)\cdot(4^x)+(2^x)+1>0\)  恆成立 , 求 \(m\) 的範圍?

解答：

當 \(x\leq -1\) 時，\((m-m^2)\cdot(4^x)+(2^x)+1 > 0\)  恆成立

　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{2}\right)^x+(m-m^2)>0\) 恆成立

令 \(\displaystyle t=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) ，則

因為 \(x\leq -1\) ，所以 \(t\geq2\)

\(\displaystyle y=t^2+t+(m-m^2)=(t+\frac{1}{2})^2+m-m^2-\frac{1}{4}\)

qq.png (8.27 KB)

2013-4-18 00:25

所以當 \(t=2\) 時，\(y\) 的最小值 \(6+m-m^2>0 \Leftrightarrow -2<m<3\)

引用:

原帖由 skuld 於 2013-4-27 08:08 PM 發表
還有一題是：a、b、c為自然數且1/a + 1/b +1/c =1 求a、b、c的解想請問這題要怎麼解？
我這題是用湊的，只湊到3組解(分別是3,3,3、4,4,2、6,3,2)，但不知道怎麼列式&是否還有其他的解...
謝謝！ ...

不失一般性，可假設 \(a\geq b\geq c\geq 1\)，則 \(\displaystyle 0<\frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}\leq\frac{1}{c}\leq1\)

　　\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 1\leq\frac{3}{c}\)

　　\(\Rightarrow c\leq3\)

　　\(\Rightarrow c=1\), \(2\), or \(3\)

case 1: 若 \(c=1\) 則 \(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\Rightarrow\) 不合

case 2: 若 \(c=2\) 則 \(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\)

　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)

　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\leq\frac{2}{b}\)

　　　　\(\Rightarrow b\leq 4\)

　　　　且由 \(b\geq c\)，可知 \(b=3\) or \(4\)

　　　　若 \(b=3\)，則 \(a=6\)

　　　　若 \(b=4\)，則 \(a=4\)

case 3: 若 \(c=3\) 則 \(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}\)

　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)

　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{3}\leq\frac{2}{b}\)

　　　　\(\Rightarrow b\leq 3\)

　　　　且由 \(b\geq c\)，可知 \(b=3\)，因此 \(a=3\)

因此，滿足題意的有序數組 \((a,b,c)\) 只有 \((3,3,3), (2,3,6), (2,6,3), (3,2,6), (3,6,2), (6,2,3), (6,3,2), (2,4,4),(4,2,4),\) 或 \((4,4,2)\)