12 12
發新話題
打印

102建國中學

回復 33# insel 的帖子

版大 bugmens 已答 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

所以,我來說說其它事

其實這兩題:填4 和類題101文華,不用這樣的技巧也是可以做,

只是變成去數 i=1,2,3,... 各有幾個,再相乘相加,而幾個的數量,則是某兩個值相減

最後,求和的時候,要把 i 跟其數量相乘,sum 起來

我單純是因為不想做上面紅字的減法、相乘,所以才用這樣的方法

至於聯想的起點是期望值 \( E(X) = \sum p_i x_i \) 或  \( \int f(x)x dx \),當 \( X \) 取值為非負(非負整數) 時

式子可變形為 \( E(X) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n ) \) 或 \( E(X) = \int_{0}^\infty P(X>x) dx\)
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 25# tsusy 的帖子

銳角三角形\(\Delta ABC\)中,\(D\)、\(E\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上。過\(D\)、\(E\)分別作\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)之垂線,交於\(\Delta ABC\)內部一點\(P\)。
試證:\(\overline{AP}\cdot(\overline{BC}-\overline{DE})\ge \overline{BD}\cdot \overline{AE}+\overline{CE}\cdot \overline{AD}\)。
[解答]
前幾日(12.04)的帖子,似乎因主機異常而消失了,再重回一次

猜測修正題目的不等式為 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD} \),證明如下

注意 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}\Leftrightarrow\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}+\overline{AP}\cdot\overline{DE} \)

而 \( ADPE\) 為圓內接四邊形,由托勒密定理有 \( \overline{AP}\cdot\overline{DE}=\overline{AD}\cdot\overline{PE}+\overline{AE}\cdot\overline{PD} \)。

故原不等式等價於 \( \overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD} \)。

令 \(Q\) 為 \(P\) 對 \(\angle BAC\) 之分角線之對稱點,\(D'\), \(E'\) 分別為 \(Q\) 對 \(\overleftrightarrow{AB}\),\(\overleftrightarrow{AC}\) 之投影點,則有 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\),\(\overline{QD'}=\overline{PE},\overline{QE'}=\overline{PD}\)。

四邊形 \(ABQC\) 之面積 \(=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{QD'}+\overline{AC}\cdot\overline{QE'}\right)=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\right)\)。

亦可寫為 \(\triangle AQB+\triangle AQC=\frac{1}{2}\overline{AQ}\cdot\overline{BC}\sin\theta\),

其中 \(\theta\) 為 \(\vec{AQ}\) 和 \(\vec{BC}\) 的夾角。又 \(\sin\theta<1\) 且 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\),

因此\(\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\),又此不等式與欲證之命題等價,故得證。

注意以上證明中,並沒有用到銳角之條件,及點 \(P\) 在三角形內部。銳角之條件雖保證點 \(P\) 在三角形內部,但點 \(Q\) 仍可以在三角形外,而且鈍角時,即使 \( P,Q \) 分在三角形外,結論及證明亦正確。
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

 12 12
發新話題