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例題:把 Σ 轉換成積分求近似值考題

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試證明:對於一切自然數\(n\),\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\),此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題,https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html)

[x]表不大於x的最大整數,則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

求\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分。
(94全國高中數學競賽 台南區筆試一試題)

估計\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值,下列何者正確?
(A) \( S \le 100 \) (B) \( 100<S \le 200 \) (C) \( 200<s \le 300 \) (D) \( 300<s \le 400 \)
(94台中縣高中聯招)

若\( \displaystyle x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),若[x]表不大於x的最大整數,則[x]=?
(96高雄中學)

若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{9999} \frac{1}{\sqrt{k}} \),則x的整數部分為?
(97師大附中第一次教師甄試)

設[x]表不大於x的最大整數( \( x \in R \) ),\( \displaystyle a=\sum_{k=5}^{2008} \frac{1}{\sqrt{k}} \),試求[x]之值。
(97淡水商工)

求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}= \)?(必須寫出過程,不可僅寫簡答)
(97台南女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757)

求\( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{900}} \)的整數部分?
(99中一中,https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)

\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
(99左營高中,https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html)

若\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}} \),求[k]?
(100文華高中,https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html)


\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),則[S]=?
(100北一女,https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html)

令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \),其中n為自然數,則n=?
(100台北市中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)

若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}} \),求[k]=?
(100香山高中,https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html)

令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \),若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數,求\( [\; S ]\;= \)?
(101中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

估計\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值,則(1)\( S \le 100 \) (2)\( 100<S<200 \) (3)\( 200<S<300 \) (4)\( 300<S<400 \)
(101中區國中聯招)

\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數,則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
(101文華高中代理,https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \),求\( x \)的整數部分。
(103高中數學能力競賽,https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

附上正統的解法
奧數教程高一 第9講數列求和
奧數教程高二 第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二 第24講高斯函數[x]

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-1-6 03:19 PM 編輯 ]

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