題目： 圓內接正五邊形\(ABCDE\)，圓心\(O\)，若圓半徑\(1\)，求向量\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}\)的長度＝？

解答：

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2012-12-21 09:11

如圖：\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}=2\left(\vec{AF}+\vec{AG}\right)\)

所求＝\(2\left(\overline{AF}+\overline{AG}\right)\)

　　\(=2\left(2\cos^2 54^\circ+2\cos^2 18^\circ\right)\)

　　\(\displaystyle=2\left(2\cdot\frac{1+\cos108^\circ}{2}+2\cdot\frac{1+\cos36^\circ}{2}\right)\)

　　\(=2\left(2+\cos108^\circ+\cos36^\circ\right)\)

　　\(=2\left(2-\sin18^\circ+\cos36^\circ\right)\)

　　\(\displaystyle=2\left(2-\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)\)

　　\(=5\)

感謝老王老師讓我想到另解： ^__^


\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}=\left(\vec{AO}+\vec{OB}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OC}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OD}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OE}\right)\)

　　　　　\(=\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}++\vec{OD}+\vec{OE}\right)+5\vec{AO}\)

　　　　　\(=\vec{0}+5\vec{AO}\)

　　　　　\(=5\vec{AO}\)

所求＝\(5\left|\vec{AO}\right|=5\)

因為 \(O\) 是正五邊形 \(ABCDE\) 的中心點。

或是你也可以用三角函數證明：\(\displaystyle \cos0+\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}=0\)

且 \(\displaystyle \sin0+\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{4\pi}{5}+\sin\frac{6\pi}{5}+\sin\frac{8\pi}{5}=0\)

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