回復 1# arend 的帖子
之前寫過,但方法不是很漂亮,參考就好了,期待樓下證得更簡潔一點
當 \( \triangle ABC \) 為鈍角三角形或直角三角形時,\( \cos A\cos B\cos C\leq0\leq\frac{1}{8} \) ,不等式成立。
若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形,則 \( \cos A , \cos B , \cos C>0 \) 。
由算幾不等式得 \( \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3} \)
而 \( \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\leq2\cos(90^{\circ}-\frac{C}{2})=2\sin\frac{C}{2} \) 。
故有 \( \cos A+\cos B+\cos C\leq2\sin\frac{C}{2}+\cos C=2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2}=-2(\sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2} \) 。
綜合以上得 \( \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} \),等號成立條件為 \( \sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2} \) 且 \( \angle A=\angle B \) 。
又 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形,故此即為 \( \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} , \triangle ABC \) 為正三角形之時,等號才會成立。
上面的方法有點小瑕疵,是針對三角形 ABC 的三內角,而非任意的 \( A+B+C =180^\circ \)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-12-20 07:17 PM 編輯 ]