第20題
我的代數不是很好，所以還是會用幾何想法。
題目條件只給了底邊長和面積，我們確定的只有底邊的高；
換句話說，頂點A可以在一條與BC平行的直線上移動。
於是先考慮特殊狀況，把A點移到使得P在AC上(題目雖然說P要在三角形內，但不必理這句話)。
如圖可以知道此時AB=BC，那麼 \( \angle{B} \) 的外角就是 \( 2\alpha \)  ，
就知道 \(\displaystyle \tan{2\alpha}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{11}} \) ，
進而算出 \( \cos{4\alpha} \)

這樣給了靈感處理一般的情況，如圖
過A作BC的平行線交CP的延長線於D，
可以知道 \( \angle{BAD}=\angle{BPD}=\angle{B} \)
於是BPAD共圓，\( \angle{PDB}=\angle{PAB}=\alpha \)
就可以接上前一段的計算了

弄了許久，弄出一個比較簡單的三角函數做法:
在三角形PAB中，\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{(\pi-2\alpha})}=\frac{PB}{\sin\alpha} \)

在三角形PBC中，\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{(\pi-B})}=\frac{PB}{\sin\alpha} \)

所以\(\displaystyle AB=\frac{BC \sin2\alpha}{\sin B} \)

\(\displaystyle (ABC)=\frac{1}{2}AB \times BC \times \sin B=\frac{1}{2}BC^2 \sin2\alpha \)

得到 \(\displaystyle \sin2\alpha=\frac{\sqrt{14}}{5} \)

\(\displaystyle \cos4\alpha=1-2 \times \frac{14}{25}=-\frac{3}{25} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-12-1 04:29 PM 編輯 ]