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99鳳新高中

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99鳳新高中

試題及答案請見附件。

以下資料供以後的考生參考:
初試最低錄取分數 79分
100,86,82,80,79

其他
70~76分 6人
60~69分 5人
50~59分 8人
40~49分 15人
30~39分 14人
20~29分 16人
10~19分 18人
0~ 9分 25人

共計112人

附件

99鳳新高中.rar (169.95 KB)

2010-6-23 06:44, 下載次數: 5150

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1.設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4},(n \in N,n \ge 2) } \),求\( a_n= \)?(以n表示)


2.求\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值?及當時的x值?

88高中數學能力競賽 台北市筆試二試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農,96彰師附工,97文華高中,99萬芳高中都考過這題
https://math.pro/db/thread-969-1-1.html


5.若a,b,c為△ABC的三邊長,且\( \displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \),求證:\( \displaystyle \sqrt{s-a}+\sqrt{s-b}+\sqrt{s-c} \le \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}} \)

a,b,c為△ABC的三邊長,試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)

(1996APMO,http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html
97中二中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807
99新竹實驗中學 都考過這題)


7.
解\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
[解答]
\( \displaystyle \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \left( x \right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x} \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
兩式相加得到\( \displaystyle 2 \sqrt{x-\frac{1}{x}}=(x-\frac{1}{x})+1 \)
\( \displaystyle 4 \left( x-\frac{1}{x} \right)=\left( x-\frac{1}{x} \right)^2+2 \left( x-\frac{1}{x} \right)+1 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x} \right)^2-2 \left(x-\frac{1}{x} \right)+1=0 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x}-1 \right)^2=0 \)
\( \displaystyle x-\frac{1}{x}-1=0 \)
\( x^2-x-1=0 \)
\( \displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)


其他類似問題請一併準備
解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
(初中數學競賽教程P58)

解方程式\( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{2x}}+\sqrt{2x-\frac{1}{2x}}=2x \)
(94台北縣高中聯招)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804

解方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}=x \)
(建中通訊解題第55期)


8.若\( \cases{ax+by=3 \cr ax^2+by^2=7 \cr ax^3+by^3=16 \cr ax^4+by^4=42} \),求\( ax^5+by^5= \)?
更多類似題目請見 https://math.pro/db/thread-799-1-2.html

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-6-17 10:26 PM 編輯 ]

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想請問第4題

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第 4 題

若 \(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right) = \tan x^\circ\),求最小的正整數 \(x=\)?


解答:

\(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right)\)


\(\displaystyle= \frac{\left(4\cos^3 9^\circ-3\cos9^\circ\right)\left(4\cos^3 27^\circ - 3\cos 27^\circ\right)}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \cos81^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \sin9^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\tan9^\circ.\)

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-6-23 05:09 PM 發表
第 4 題

若 \(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right) = \tan x^\circ\),求最小的正整數 \(x=\)?


解答:

...
這個一定要讚十次~~~~~
打破腦袋也想不出來
又多學一招
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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謝謝,第五題除了琴生不等式外,是否有其它解法,因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎?)

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引用:
原帖由 rudin 於 2010-6-23 08:25 PM 發表
謝謝,第五題除了琴生不等式外,是否有其它解法,因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎?)
琴生不等式 → 就是凹(或凸)函數的特性。

可以查詢關鍵字:Jensen's inequality

至於另解嘛~~我也來想看看。==

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回復 6# rudin 的帖子

Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
http://www.artofproblemsolving.c ... id=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

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引用:
原帖由 bugmens 於 2010-6-23 09:11 PM 發表
Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1576&start=0
M9331707大的科西

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謝謝大家,已用琴生不等式完成!

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