Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \)。

則有 \( A^n = r(A) \)

方法沒有限定 2 階，也沒限定重根，但是也是有一些可能的限制在

方法：是找出一個 \( A \) 的零多項式，通常用特徵多項式 \( p_A(x) \)

然後由除法原理有  \( x^n = p_A(x) q(x) + r(x) \)

當然不可能真的去做長除法，而是要透過類似餘式定理的方式，或者 \( p_A(x) \) 有特殊結構，才能快速的求出 \( r(x) \)。

例如： \( p_A(x) \) 如果是一個二次式，且 \( p_A(x) = 0 \) 之解是兩個無理解，那就透過餘式定理解 \( r(x) \)，只是係數有點醜。

一般的情況下，除非 \( p_A(x) \) 可以解分成一些簡單(如整係數)的一次式和二次式的乘積。

否則一旦碰上，沒有有理根的三次式，要計算 \( r(x) \) 可能就是一件困難的事了

不過如果真的這樣，要對角化還是算 Jordan Canonical Form 應該也是很難算才是。

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\( u \) 是特徵值 \( \lambda \) 所對應的特徵向量，再去解 \( (A-\lambda I)x= u \) (二階的可以這樣做)

特徵值的重數如果 \( >2 \) ,上面的方法就可能失效

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