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101松山工農(第二次)

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回復 2# 阿光 的帖子

填充第 7 題,方法同【100師大附中】第三題,可以利用費馬點來解題。

請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109


問答 2:乙生算出來的是 \(f(2013)\) 的值。利用差分的方法,代入函數的數字要成等差。

相關知識可搜尋關鍵字:巴貝奇(Babbage)定理、差分

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回復 4# 阿光 的帖子

問答6

當圓周上有六個相異點時,此六點連接所成的弦,最多可以將圓內部分成 \(31\) 塊而已。

如下圖:



至於正確的公式,可見 https://math.pro/db/thread-916-1-1.html

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小弟填充第 7 題聯想點:

\(x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ\)

聯想到餘弦定理,

聯想到~~~三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 \(120^\circ\),

且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 \(x,y,z\)

可知此點為費馬點。


填充第 4 題:

先整係數一次因式檢驗法,可知 \(2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=(x+1)(2x^4-10x^3+13x^2-3)\)

再來研究看看 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\)

「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積~

最有可能的「猜測」有~~~

\((x^2+ax-1)(2x^2+bx+3)\)

或是  \((x^2+ax+1)(2x^2+bx-3)\)

或是  \((x^2+ax-3)(2x^2+bx+1)\)

或是  \((x^2+ax+3)(2x^2+bx-1)\)

此四種情況,分別都乘開,與  \(2x^4-10x^3+13x^2-3\) 比較係數,

看看哪一個可以解出正確的 \(a,b\)。

(實際上: \(2x^4-10x^3+13x^2-3=(x^2-2x-1)(2x^2-6x+3)\))

剩下的就容易了。

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回復 13# clovev 的帖子

填充第 2 題:

\(\displaystyle \log\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\log2\approx\frac{1.4142}{2}\times0.3010\approx0.2128\approx\log1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^\sqrt{2}\approx1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \log\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\right)=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log2\approx1.63\times0.5\times0.3010\approx0.2453\approx\log1.75\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.75\)

小數點以後第二位四捨五入,可得

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.8\)

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回復 13# clovev 的帖子

問答題第 3 題:

丙學生的算法是錯誤的,

因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle a=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)

而第二個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle 3b=\frac{1}{3a}\Rightarrow 9ab=1\)

顯然兩者不會同時成立,

丙學生找出來的是"下界",而非最小值。

最小值需要確保"等號"會成立才行。

而正確的算法可以透過如下,使用柯西不等式:

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3a}}\right)^2+\left(\sqrt{3b}\right)^2\right)\geq\left(\sqrt{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{3a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\cdot\sqrt{3b}\right)^2\)

可得 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\geq\frac{16}{3}\)

且上述柯西不等式等號成立的條件為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}}{\sqrt{3b}}\) ,即 \(3a=b\)

帶入 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)=\frac{16}{3}\)

可解得 \(\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=1\)(依題意,\(a,b\) 為正數)

因此,\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\) 之最小值為 \(\displaystyle\frac{16}{3}\)

註:在求不等式的最大或最小值時,只要有用超過一個以上的不等式串接時,

  就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立,

  如果可以同時成立,那找出來的下界才會是最小值。

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