22 題，反著算，點數和不超 16 和 點數和  12 以上是一樣

再去計算點數和 11 以下的機率

\( H^5_7-4H^5_1 = 330 - 20 =310 \)

因此所求 \( = 1- \frac{310}{6^4}=\frac{493}{648} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-9-27 10:30 PM 編輯 ]

第 7 題

以兩點兩半徑做兩圓，則直線必為兩圓相切，即公切線

兩條外公切線、一條內公切，剩下的應該不難算

第 10 題

以圖形觀之或者令 \( z_{1}=x+yi \), \( z_{1}-a=(z_{1}+a)ki \) 可得 \( z_{1}=\pm ai\)

由方程式可得 \( \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1\pm\sqrt{5}i}{3}\Rightarrow z_{2}=\frac{1\mp\sqrt{5}i}{2} \)

旋轉不影響面積，\( P_{1}'(a,0) \), \( P_{2}'(\frac{a}{2},\mp\frac{\sqrt{5}}{2}) \)

\( \triangle P_{1}OP_{2}=\triangle P'_{1}OP'_{2}=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}a & \frac{a}{2}\\
0 & \frac{\sqrt{5}}{2}a
\end{vmatrix}|=\frac{\sqrt{5}}{4}a^{2} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-8-3 09:43 PM 編輯 ]

「容斥原理」，以前叫排容，換個名字也沒有比較好的樣子

a'= 6, b'=6, c'=d'=0

在 H(5,12) - 4*H(5,6) 中

被扣了兩次

所以應該用容斥或排容修正之

1. 容斥原理

自己該做點功課，翻書或 Google  都很容易找到

2. 基本上寸絲是個懶人

容斥的做法，也做到，但人懶沒藥醫，但麻煩就會胡思亂想

有句話叫「科技始終來自於人性」，所以我的數學，始終來自於墯性(笑)

第 10 題，是我的的錯誤，正確的推論應該是 \( |z_1| = |a| \) 且 \( z_1 \neq -a \)

把純虛數解釋成垂直，可得 \( z_1 \) 必須在以 \( \pm a \) 為端點之線作當直徑的圓上

第 17 題，提供一個近似想法 (不標準的方法)

令 \( y =x- 3 \)，以 \( \sqrt{a+y}\approx\sqrt{a}+\frac{y}{2\sqrt{a}} \)

近似值可得以下
\( \sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+\sqrt{9+3y}}} \)
\( \approx\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+3+\frac{y}{2}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{9+\frac{5}{2}y}} \)
\( \approx\sqrt{3+y+3+\frac{5}{12}y}=\sqrt{6+\frac{17}{12}y} \)
\(  \approx\sqrt{6}+\frac{17}{144}\sqrt{6}y \)

故所求 \( =\frac{17\sqrt{6}}{144} \) 。