第 3 題：

因為 \(x\neq1\)，所以 \(\displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^n}{1-x}\)

將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，可得 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{-nx^{n-1}\cdot(1-x)-(1-x^n)\cdot(-1)}{(1-x)^2}\)

即 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{nx^n-x^n-nx^{n-1}+1}{(1-x)^2}\)

將上式左右兩邊同時乘上 \(x\)，可得  \(\displaystyle x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n=\frac{nx^{n+1}-x^{n+1}-nx^n+x}{(1-x)^2}\)

將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，然後左右兩邊同時乘上 \(x\)，即可得所求。

第 5 題：

將第一、二式表示成 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}(x-b)+(y-c)+(z-a)=0\\ b(x-b)+c(y-c)+a(z-a)=0\end{array}\right.\)

可得 \(\displaystyle (x-b):(y-c):(z-a)=\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ c& a\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ a& b\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ b& c\end{array} \right|=(a-c):(b-a):(c-b)\)

令 \(x-b=k(a-c), y-c=k(b-a), z-a=k(c-b)\)

即 \(x=b+k(a-c), y=c+k(b-a), z=a+k(c-b)\)

再帶入題目所給之第三式，可得 \((a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(k+1)=0\)

因為 \(a,b,c\) 為三相異實數，

所以 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\neq0\)

故， \(k=-1\)

即 \(x=b+c-a, y=a+c-b, z=a+b-c\)

第 1 題：

任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５

＝\(H_5^5-H_5^3-H_5^4+H_5^2=55\)

第 2 題：

所求＝\(\displaystyle\sum_{k=1}^{15}C^{2k+1}_3\)

　　　\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{(2k+1)\cdot(2k)\cdot(2k-1)}{3!}\)

　　　\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{4k^3-k}{3}\)

　　　\(\displaystyle=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{15\times16}{2}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{15\times16}{2}\)

　　　\(=19160.\)

第 16 題：

令 \(F(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，則

\(F(x+1)-F(x)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)\)

解 \(3a=-6,3a+2b=-4,a+b+c=4\)

可得 \(a=-2,b=1,c=5\)

因此，\(F\,'(x)=-6x^2+2x+5\)

\(\Rightarrow F\,'(2)=-15\)

第 20 題：

設 \(<a_n>\) 等比數列的公比為 \(r\) 且 \(r>0\)，

令 \(S_{10}=a, r^{10}=t\)，則

\(2^{10}(a+at+at^2)-(2^{10}+1)(a+at)+a=0\)

因為 \(a>0, t>0\)，所以可得 \(\displaystyle t=\frac{1}{1024}\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\Rightarrow  nS_n=n\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=n-\frac{n}{2^n}\)

因此 \(<nS_n>\) 的前 \(n\) 項和 \(\displaystyle  T_n = \sum_{k=1}^n k S_k = \sum_{k=1}^n\left(k-\frac{k}{2^k}\right)\)

　　　\(\displaystyle  =\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\)

　　　\(\displaystyle  =\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}\)

再化簡一下就可以得到標準答案的那個樣子了。


註：最後一行可以參考之前我回覆第 3 題的中間步驟（\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 代入）。

第 8 題：

三次曲線 \(y=x^3+3x^2-24x\) 與水平線 \(y=-a\) 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 \(x\) 坐標為正，一個交點的 \(x\) 坐標為負。

如下圖：

qq.png (7.41 KB)

2012-8-14 15:52

可得 \(-28<-a<0\Rightarrow 0<a<28\)

第 21 題：

\(\displaystyle P(\mbox{丟四顆骰子一次，恰兩顆點數相同}) = \frac{C^4_2 \cdot 6\cdot5\cdot4}{6^4} = \frac{5}{9}\)

\(\displaystyle \Rightarrow P(\mbox{丟四顆骰子一次，沒有恰兩顆點數相同的情況}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\)

設滿足題述時，最少應投擲 \(n\) 次，則

\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0.9\)


\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^n<0.1\)

兩邊取 \(\log\) 得 \(n>2.xxxxxxx\)

\(\Rightarrow n\) 至少為 \(3\)。

第 7 題：

設兩圓連心線與其中一條外公切夾角為 \(\theta\)

則 \(\displaystyle \tan\theta=\frac{7-6}{\sqrt{\left(7+6\right)^2-\left(7-6\right)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{42}}\)

設外公切線斜率為 \(m\)，

則 \(\displaystyle \tan\theta=\pm\frac{m-\frac{-12}{5}}{1+m\cdot\frac{-12}{5}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow m=\frac{-30\pm\sqrt{42}}{12}\)

再加上外切兩圓的內公切線斜率 \(\displaystyle \frac{5}{12}\)，

可得所求＝\(\displaystyle -\frac{55}{12}\)。

半角公式＋餘弦定理

\(\displaystyle\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}\)

　　　\(\displaystyle=\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{4bc}}=\sqrt{\frac{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{-a+b+c}{2}}{bc}}=\sqrt{\frac{s\left(s-a\right)}{bc}}\)