101內湖高工二招

6.
設\(a,b,c\)為正數，\(f\)為由矩陣\( \left[ \matrix{a&-b \cr \sqrt{3}a&c} \right] \)表示的線性變換(Linear transformation)，當橢圓\(4x^2+8y^2=1\)經\(f\)變換後之圖形是以原點為圓心，1為半徑的圓，則\((a,b,c)=\)　　　
[解答]
\( \left[ \matrix{x' \cr y'} \right]=\left[ \matrix{a & -b \cr \sqrt{3}a & c} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{ax-by \cr \sqrt{3}ax+cy} \right] \)
將\( \cases{x'=ax-by \cr y'=\sqrt{3}ax+cy} \)代入\( (x')^2+(y')^2=1 \)得\( a^2x^2-2axby+b^2y^2+3a^2x^2+2\sqrt{3}axcy+c^2y^2=1 \)
和原式比較可得\( \cases{a^2+3a^2=4 \cr \sqrt{3}c-b=0 \cr b^2+c^2=8} \)，因此\( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)

印象中有更佳的解法，目前小弟只想到這種，有錯請指正