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101文華高中(代理)

101文華高中(代理)

試題與答案如附件。

附件

101文華高中(代理).zip (182.16 KB)

2012-7-8 00:28, 下載次數: 10910

多喝水。

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回復 8# Duncan 的帖子

第 12 題:

設此台車跑完圈數的期望值為 \(x\),則

\(\displaystyle x = \left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)(1+x)\)

可得 \(x=5\)

多喝水。

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回復 14# andyhsiao 的帖子

第 13 題:

有序數對 \((A,B)\) 有 \((2\times3-1)(2\times5-1)(2\times3-1)=225\) 組。

當中只有一組 \((A,B)\) 會與 \((B,A)\) 相同,也就是 \((8100,8100)\) 這組。

因此,所求為 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(225-1)+1=113.\)

類題: 101中正預校第 14 題:https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1383&page=2#pid6119
    101清水高中填充第 13 題:https://math.pro/db/thread-1393-1-1.html

多喝水。

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回復 18# andyhsiao 的帖子

第 15 題(另一種解法):

用 \(O,A,B,C,D\) 五色塗 \(n\) 個環狀區域,且第一個區域要塗 \(O\) 這一色,

塗法有 \(a_n=\frac{1}{5}\left((5-1)^n+(5-1)\cdot(-1)^n\right).\)

註:套用 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html 的公式,

  乘以 \(\frac{1}{5}\) 是因為套用的公式中的第一個區域原本有 \(O,A,B,C,D\) 五種顏色可以塗,

  到此題被限制只能塗 \(O\),所以相差五倍。

多喝水。

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回復 22# 阿光 的帖子

填充第 10 題:

以●表示被選出來的球,以○表示沒有被選出來的球。

分母 \(n(A)=H_{11}^4=364\)

 解釋

   先將任兩個●之間放入三個○ → ●○○○●○○○●

   剩下的11個○隨意放入由三個●所間隔開的四個區域中。

   由左至右看●是放在第幾個位置,就表示第幾號被選出來了。

分子 \(n(A\cap B)=H_7^3+H_{11}^2=48\)

 原理同上,可以先自己想看看要怎樣解釋。:)

所求=\(\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{12}{91}.\)

多喝水。

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回復 24# natureling 的帖子

有 \(\displaystyle\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\) 的機率~

會跑完一圈,以及得到在第一圈之後未來圈數的期望值。

多喝水。

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回復 26# arend 的帖子

在後面的『類題: 101中正預校第 14 題』裡面有詳細的解釋。

多喝水。

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回復 29# idontnow90 的帖子

1.
 期望值=(會跑完第一圈機率)*(1+得到在第一圈之後未來圈數的期望值)+(會不跑完第一圈機率)*0

2.

 把移動的軌跡記錄下來~相鄰兩次一定不同符號。

 例如:\(O→D→B→D→A\)→\(?\)

 由 \(A\) 點跳出去,下一次一定會移到 \(O,B,C,D\) 其中一點,猶如相鄰塗異色,

 把 \(O,A,B,C,D\) 當作是五種顏色的名稱而已。


 由 \(O\) 出發,又回到 \(O\),就像是第一格跟最後一個都是 \(O\) 這種顏色

 兩個 \(O\) 連接起來就是環狀塗色問題而已。

多喝水。

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回復 11# weiye 的帖子

第 12 題因為有幾位朋友還是看不太懂我前面寫的式子,我再換個方式描述多一下好了~

令 p=(1-1/9)(1-1/16) 表示某一圈可以跑完的機率

期望值= (第一圈跑不完的話,所得的圈數)*跑不完第一圈的機率+(第一圈跑得完的話,所得的圈數)*跑得完第一圈的機率

   = 0*(1-p) + (1+x)(p)

因此, x = 0*(1-p) + (1+x)(p),可解得 x。





或是還是不懂的話,那換一個另解好了~

期望值 E = 0*(1-p) + 1*p*(1-p) + 2*(p^2)(1-p)+......

上式左右同乘 p ,可得

E*p = 0*p*(1-p) + 1*p^2*(1-p) + 2*(p^3)(1-p)+......

兩式相減,可得

E*(1-p) = p*(1-p) + (p^2)(1-p) + (p^3)(1-p)+......

    = (首項)/(1-公比)

    = p(1-p)/(1-p)

→ E = p/(1-p) = 5

多喝水。

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回復 34# kittyyaya 的帖子

第 14 題:

設 \(n=2^a\cdot 3^b\cdot p_1^{c_1}\cdots p_r^{c_r}\)

其中 \(r\) 為正整數,\(a,b,c_1,\cdots,c_r\) 為非負整數,\(p_1\cdots p_r\) 為大於三的相異質數,

則,依題意可得

\(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=28\)

\(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)\cdot\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=30\)

因為 \(28\) 與 \(30\) 的最大公因數為 \(2\),所以 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)\) 只有可能是 \(2\) 或 \(1\)

case i: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=1\)

    則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=7\cdot4\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=6\cdot5\)

    可得 \(6n\) 的正因數個數為 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+2\right)=7\cdot5=35\) 個

case ii: 若 \(\left(c_1+1\right)\cdots\left(c_r+1\right)=2\)

    則 \(\left(a+2\right)\cdot\left(b+1\right)=14\) 且 \(\left(a+1\right)\cdot\left(b+2\right)=15\)

    解得 \(a,b\) 非整數,不合。

由 i & ii,可知 \(6n\) 的正因數個數為 \(35\) 個。

多喝水。

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