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101台中二中二招

回復 16# jmfeng2001 的帖子

填充第 8 題:

\(\triangle BDF \mbox{面積}=z \triangle BDE \mbox{面積}\)

        \(=z\cdot (1-x) \triangle ABE \mbox{面積}\)

        \(=z(1-x)\cdot y \triangle ABC \mbox{面積}\)

所以 \(a=(1-x)yz\),

由題述 \(\displaystyle 2y+z-x=\frac{4}{5}\Leftrightarrow 2y+z+(1-x)=\frac{9}{5}\),

因為 \(2y, z, (1-x)\) 皆非負,由算幾不等式,

可得 \(\displaystyle \frac{2y+z+(1-x)}{3}\geq \sqrt[3]{2y\cdot z\cdot (1-x)}\)

    \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3}{5}\geq\sqrt[3]{2a}\Leftrightarrow \frac{27}{250}\geq a\)

可知,\(a\) 之最大值為 \(\displaystyle \frac{27}{250}\),

且此時,\(\displaystyle 2y=z=1-x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10},z=\frac{3}{5}\)

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回復 24# martinofncku 的帖子

填充第 6 題:

令 \(n = 2^a 3^b p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}\)

其中 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) 為大於 \(3\) 的相異質數,

   \(a,b,r_1,r_2,\cdots r_k\) 為非負整數



\((a+2)(b+1)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=40=8\times5\)

\((a+1)(b+2)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=42=7\times6\)

(如果有猜到後面的因數分解幾乎就結束了,不然就如下~)

因為 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)\Bigg|gcd(40,42)\)

所以 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=1\) 或 \(2\)

Case i: 若 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=1\),則

    解得 \((a,b)=(6,4)\) 或 \((-7,-9)\) (不合)

    所求=\((a+2)(b+2)(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=8\times6\times1=48\)

Case ii: 若 \((r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)=2\),則

    解得 \(a,b\) 之解皆非整數,不合。

故,所求=\(48\)

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回復 33# kittyyaya 的帖子

填充第 3 題:

先解不動點 \(\displaystyle x=\frac{3x+1}{x+3}\Rightarrow x=\pm1\)

然後

\(\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n-1}=\frac{\displaystyle \frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3}+1}{\displaystyle \frac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}+3}-1}\Rightarrow \frac{a_n+1}{a_n-1}=2\cdot\frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_n+1}{a_n-1}=2^n\cdot\frac{a_0+1}{a_0-1}=2^{n+1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_n=\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}-1}\)

相關討論與題目: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

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回復 33# kittyyaya 的帖子

填充題第 10 題的 \(\overline{BC}, \overline{DC}\) 可以利用雙重根號的化簡,

       或是先求 \(\left(\overline{BC}+\overline{DC}\right)^2\) ,算完再開根號也可以。

計算題第 1 題,我的答案也是 \(\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}\)

(\(z_1=x+yi\) 滿足 \(x-2y-5=0\),\(\triangle ABO\) 是一個 \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) 的直角三角形。)

多喝水。

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