可以稍微修正一下
\(\displaystyle f '(x)=12x^2+24x+k=12(x-\alpha)(x-\beta) \)

接著用長除法可以得到 \( f(x) \) 除以 \( f '(x) \) 的餘式為 \(\displaystyle (\frac{2k}{3}-8)(x-\frac{1}{2}) \)

\(\displaystyle f(\alpha) f(\beta)=(\frac{2k}{3}-8)^2(\alpha-\frac{1}{2})(\beta-\frac{1}{2}) \)

\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{f '(\frac{1}{2})}{12} \)

\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{k+15}{12} < 0 \)

所以得到 \( k < -15 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-27 07:26 PM 編輯 ]

最近才做到這份，關於計算第四題，題目問的既然是 \( \tan \) ，
那麼可以記一下 \( \tan \) 的 \( n \) 倍角公式:
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html
裡面的第(20),(24)~(28)式。

回到本題，令 \( \tan x=t \)
\(\displaystyle \tan 7x=\frac{7t-35t^3+21t^5-t^7}{1-21t^2+35t^4-7t^6} \)

因為 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7}=0 \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)

所以分子部份 \( 7t-35t^3+21t^5-t^7=0 \) 的七個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)

但 \( \tan \pi=0 \) ，故 \( 7-35t^2+21t^4-t^6=0 \) 的六個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6 \)

由根與係數關係 \(\displaystyle \prod_{k=1}^{6}\tan \frac{k\pi}{7}=-7 \)