計算 3. 做了一下，沒什麼問題 \( 52+\frac1{27}\leq S \leq 53 \)

也許是估計做的不夠準，而主要的誤差來源在於前幾項，

所以保留部分項，其它再估計吧

沒看題目，和其它解法，單就你的文字而言

「就有」兩個字，也就是單向的蘊含，而非等價

來個錯誤示範的例子：求解 \( x=1 \)

\( x=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1 \) 或 \( -1 \)
每個箭頭邏輯都是對的，但不代表 \( x=\pm 1\) 是原方程式的解

以上，犯的錯誤是一樣的。

換成 \( \sin \), \( \cos \)

之後正餘弦的連乘積都是很常見的考題

令 \( \omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7} \)，

則 \( (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)(x-\omega^5)(x-\omega^6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)

\( x =\pm 1 \) 代入，取絕值，可得正弦餘之連乘積

填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)

類題

100 文華高中代理 填充16
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中， \( x^{4} \) 項的係數。

100 中壢高中 填充9
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。

您的想法正確，可算得半長軸 \( a=\sqrt{3} \)

而內切圓半徑則由面積 \( rs=\triangle BDA =2\sqrt{3} \) 可得 \( r = \sqrt{3}-1 \)

注意 \( \angle D \) 是直角，因此切點到 D 的距離恰為半徑

因此 \( c=a-r=1\Rightarrow b=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2b^{2}}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}} \)

填充4. 100北港高中 考過了

#30 katama5667 老師已解，小弟來提供另一個做法

\( \displaystyle \frac{\sum\limits _{k=1}^{2012}kC_{k}^{2012}C_{2012-k}^{2012}}{C_{2012}^{2024}} \) 可視為箱中有 2012 個白球和 2012 個黑球，取出 2012 個球，白球數的期望值

而該期望值，可視為 1 個個慢慢取，每次取得白球的機率為 \( \frac{1}{2} \)，由期望值的加性得 \( \frac{2012}{2} \)

故其分子為 \( C_{2012}^{4024} \cdot \frac{2012}{2} = \frac{4023!}{2011!2011!} = 2012 C^{4023}_{2011}\)

因為 cos 的乘積中有三項是負的
所以差一個負號

還是可以，以對角矩陣和 nilpotent matrix 分解之

\( A=2I+B
, A=\begin{bmatrix}2 & -1\\
0 & 2
\end{bmatrix}
, B=\begin{bmatrix}0 & -1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
, I=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \)

再以二項式定理展開 \( A^n \) 即可