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101中正高中二招

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回復 20# larson 的帖子

去年中正那題截痕是拋物線,

今年填充5的截痕是橢圓,線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。

以上為小弟的想法,有錯誤請指正。

[ 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 ]
Always make your proof stronger than your claim.

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引用:
原帖由 wayloon 於 2012-7-3 02:06 PM 發表
去年中正那題截痕是拋物線,

今年填充5的截痕是橢圓,線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點

以上為小弟的想法,有錯誤請指正。 ...
如上面紅字的部分是怎麼來的?

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引用:
原帖由 larson 於 2012-7-3 12:38 PM 發表
謝謝!填充5的截痕之正焦弦長,解不出官方的答案!

填充第10題老王的方法:設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很 ...
x=(1/4)(1+y)  *4   =1+y
 ^^^^^^^^^^^^^
   A到任一中點的機率是1/4, 有四條選擇

y=(1/4)*1    +   (1/4)(1+y)             +(1/4)(1+y)                    + (1/4)(1+x)
    ^^^^^^^^         ^^^^^^^^^^^                ^^^^^^^^^^^^^                       ^^^^^^^^^^^^
    B-->C    B-->另ㄧ個中點-->C    B-->另ㄧ個中點-->C     B-->A-->C

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回復 20# larson 的帖子

感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。
至於今年台大數學推甄題解,其實我已經寫好了,只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~

附件

101台大數學4-1.jpg (18.52 KB)

2012-7-3 21:40

101台大數學4-1.jpg

101台大數學4-2.jpg (19.01 KB)

2012-7-3 21:40

101台大數學4-2.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 22# larson 的帖子

http://goo.gl/sDR8I

請參考本篇文章主題二,有相關內容和證明

這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念,有錯請指正
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謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆!太感激了!

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 ]

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回復 20# larson 、21# wayloon 的帖子

填充 5


我畫了個圖,如下:




因為100年中正一招時,可知綠色的軌跡為抛物線,


現今我將底圓以點 \(B\) 為定點,順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\),則


所以 \(P,~Q\) 將順著此抛物線向上滑動到 \(P',~Q'\) 形成所求橢圓的短軸



利用 \(y=tx^2\) 定座標 \(E(0,0),Q(2,-2)\),可算出 \(t=-\frac{1}{2}\)  

而 \(Q'(k,-1)\) 代入可求出 \(k=\sqrt{2}\)


所以 \(b=\sqrt{2}\)


又 \(a=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)



所以正焦弦為 \(\large \frac{2b^2}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)



[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 ]

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回復 3# fredslong 的帖子

填充 7. 其實應該改寫成組合數,才會有 Fu

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)

類題

100 文華高中代理 填充16
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中, \( x^{4} \) 項的係數。

100 中壢高中 填充9
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。
網頁方程式編輯 imatheq

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想請教填充2和4題,謝謝

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回復 29# 阿光 的帖子

填充2

就是要找 \(x^2+2(a-c)x+(b-d)=0\) 無實數解的情形,
即 \((a-c)^2<b-d\) 的機率

(1)\(|a-c|=0\)且\(b-d\geq 1\):\(\frac{6}{36}\times \frac{15}{36}\)
(2)\(|a-c|=1\)且\(b-d\geq 2\):\(\frac{10}{36}\times \frac{10}{36}\)
(3)\(|a-c|=2\)且\(b-d\geq 5\):\(\frac{8}{36}\times \frac{1}{36}\)

所以答案為 \(\frac{90+100+8}{36\times 36}=\frac{11}{72}\)

填充4

\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

再考慮 \((1+x)^{2n-1}\) 展開後 \(x^{n}\) 的係數: \(C^{2n-1}_{n}\)



\((1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}\)

\(=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )\)

乘開後 \(x^{n}\) 的係數為 \(\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

所以,\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}\)

套入原題中,\(\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}\)

故 \((m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 ]

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