第九題
正二十面體，每面為正三角形，每個頂點跟其他五個頂點相鄰，而這五個頂點構成正五邊形。
假設稜邊長為 \( 2 \) 的正二十面體，其中一個頂點為 \( A \) ，與它相鄰的為 \( B,C,D,E,F \) ，
那麼 \( BD=2 \times BC \times \sin54^o =\sqrt{5}+1 \)
假設 \( AC \) 中點為 \( M \) ，
那麼 \( BM=DM=\sqrt{3} \)
所以
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{3+3-(6+2\sqrt{5})}{2 \times 3}=-\frac{\sqrt{5}}{3} \)

個人認為第五題題目有問題，因為農曆的算法，月日的部分跟國曆不同，
還有閏月的情形，這已不是現在熟習國曆的我們所能了解的!!

這位同學，你算錯了

在平面 \( ABC \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BC \) 於 \( P \) ；
在平面 \( ABD \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BD \) 於 \( Q \) ；
那麼 \(\Delta BPQ \) 是正三角形。
不妨假設 \( BP=BQ=PQ=1 \) ，
那麼 \(\displaystyle AP=AQ=\sin36^o \)
\(\displaystyle \cos{\angle{PAQ}}=\frac{2\sin^2 36^o-1}{2\sin^2 36^o}=\frac{-\cos72^o}{1-\cos72^o} \)
\(\displaystyle =-\frac{\sqrt{5}-1}{5-\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}} \)

還記得大二修陳創義老師的幾何學的時候，老師要我們作模型，以及要我們報告；
我就把這五個正多面體的兩面角、內外接球半徑和邊長的比例、中心角等等的數據算出來，
雖然當時不是這樣算，而是利用趙文敏老師在他的數論淺談一書中提過的黃金矩形的性質來算，
但是覺得有所獲得，也發現一件有趣的結果。找機會考考學生好了。