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101竹山高中

回復 12# larson 的帖子

填充八
在 \( \Delta PBC \) 中,\(\displaystyle \frac{PB}{\sin30^o}=\frac{BC}{\sin138^o} \)
\(\displaystyle PB=\frac{\frac{1}{2}BC}{\sin42^o}=AB \)
所以
\(\displaystyle \angle{APB}=\frac{1}{2}(180^o-(48^o-12^o))=72^o \)
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回復 14# larson 的帖子

個人以為,在考場中用三角函數硬作,解出來的機會比較大。
這樣的問題出現很多次了,我上面的作法其實不夠一般,應該要這樣作:
假設(底下都省略度) \(\displaystyle \angle{PAB}=x \)


\(\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin36}{\sin x} \)


\(\displaystyle \frac{PB}{PC}=\frac{\sin30}{\sin12} \)

\(\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{\sin(84-x)}{\sin18} \)

然後三式相乘得到

\(\displaystyle \sin36 \sin30 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \sin18 \)

然後其實應該先猜答案是多少,當然,畫個近似準確的圖是重要的,這樣才可以猜測。
像這裡先整理最後的式子得到

\(\displaystyle \cos18 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

這樣應該不難猜出答案是 \( 72 \)
接著朝目標前進

\(\displaystyle \sin72 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

\(\displaystyle \sin(156-x)+\sin(x-12)=\sin(x+12)+\sin(x-12) \)

\(\displaystyle \sin(156-x)=\sin(x+12) \)

剩下就是判斷哪個才是解了。


順便放上早上頭腦清醒的狀態:

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 10:45 AM 編輯 ]

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2012-7-1 10:41

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回復 31# tsusy 的帖子

這個問題的一般情形就是在弧AC上取一點B,使得AB+BC最大。
寸絲老師提供的方法非常好,請大家在考場要記得這樣寫。

以下有興趣的再看,這也是我要處理多邊形的等周定理時要用到的一部分。
證明B在中點為最大
另取非中點之點P,不妨假設AP>CP
連接AP和CP,過B作AP的垂線,令垂足為H,
由阿基米德折弦定理得到,H是折弦APC的中點,也就是 2AH=AP+CP
由於AB>AH
故 AB+BC>AP+CP

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-21 08:42 PM 編輯 ]

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2013-4-21 20:41

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關於填充五,寫一個從以前同事那邊偷學到的方法

可以看出這是凡得夢行列式(可能差個符號),所以考慮矩陣
\(\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc}
1  &  a  &  a^2  \\
1  &  b  &  b^2  \\
1  &  c  &  c^2  \end{array} \right) \)
所求 \( (a-b)(b-c)(c-a)=det(A) \)
又 \( det(A)=det(A^T) \)
考慮
\(\displaystyle A^TA=\left( \begin{array}{ccc}
3  &  a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  \\
a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  \\
a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  &  a^4+b^4+c^4  \end{array} \right) \)
所以
\(\displaystyle ((a-b)(b-c)(c-a))^2=det(A^TA)=\left| \begin{array}{ccc}
3  &  0  &  2  \\
0  &  2  &  3  \\
2  &  3  &  2  \end{array} \right|=-23 \)
故 \(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)=\pm \sqrt{23}i \)

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-22 07:18 PM 編輯 ]
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