填充 1. 基本想法是 \( x+ya = 0 \),  \( x,y \in Q \) 則 \( x=y=0 \)

剩下的就是從 \( p,q \) 裡湊寫一寫得 \( p=(a^{2}-4a-1)a+\left[3(a^{2}-4a)+6\right] \Rightarrow (q-1)a+(3q+6-p) = 0 \)

那 \( q,p,a \) 就有了

至於怎麼湊...小弟也說不出個好方法，但不難湊就是了

填充 6. 今年附中考過 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1355&page=1#pid5501

計算證明 2. 來個不高明的數歸納法好了，如果有什麼其它高招，請不吝告訴在下

先分析 \( \{m\} \) 這個函數。注意 \( (n+\frac{1}{2})^{2}=n^{2}+n+\frac{1}{4}, (n-\frac{1}{2})^{2}=n^{2}-n+\frac{1}{4} \)。

若 \( n^{2}-n<m\leq n^{2}+n, m,\, n\in N \), 則 \( \{m\}=n.\) 注意 \(\dot{\cup}(n^{2}-n,n^{2}+n]=(0,\infty) \).

以數學歸納法證之：

\( n=1, f(1)=2=1+\{1\} \), 顯然成立。

設 \( m\leq k  (k\geq1) \) 時成立，分成二情況

(情況一)若 \( k=n^{2}+n \), for some \( n\in N \).

由歸納法假設有 \( f(k)=(n^{2}+n)+n=n^{2}+2n \). 因此下個數 \( (n+1)^{2} \) 是完全平方數

故 \( f(k+1)=f(k)+2=(n^{2}+n+1)+(n+1)=k+1+\{k+1\} \).

(情況二)若  \( n^{2}-n<k<n^{2}+n, \Rightarrow n^{2}<f(k)<n^{2}+2n\Rightarrow \) 下一個數 \( n^{2}<f(k)+1<(n+1)^{2} \) 非完全平數

所以 \( f(k+1)=f(k)+1=k+\{k\}+1=(k+1)+\{k+1\} \)。

由數學歸納法得證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 11:56 PM 編輯 ]

好方法！ 沒想到這招也可以用在這題上

以下是一些類題

將 4  個球全部投入 3  個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4  次，則空袋子個數的期望值 \( \underline{\qquad\qquad} \) 。     (99中興高中 填充17)

一袋中有 m  個白球與 n  個黑球，個袋中一次取一球，取後不放回，直到取完所有白球為止，求所取球數的期望值。     (97大里高中 計算3  第17篇)

A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中 第1題)

有 3  個「+ 」，4  個「- 」，排成一列。若一列中一個「+- 」或一個「-+ 」我們說：有一個「變號」。問 3  個「+ 」，4  個「- 」排成一列，變號個數的期望值？     (99彰化女中 填充12)

另外期望值線性疊加亦可在公平事件的機率問題使用，如以下：

有甲、乙、丙等 14 人出遊，欲住進兩間 4  人房、兩間 3  人房，問甲乙丙三人同房的機率為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。     (99桃園高中 填充15)

97中興高中填充9、99彰化女中 填充2、99中正高中 填充 9

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-10-28 09:52 PM 編輯 ]

99 高雄高中那題

可考慮每 n 步是否有轉彎的機率為 \( p \)，易得 \( p = \frac{2\cdot9\cdot9}{18\cdot 17} \) (與 n 無關)

故所求 \( =17p = 9\)

填充 2. 另解(沒有比較簡潔) 注意兩個式子都是 x,y 的對稱多項式

處理對稱多項式常用的手法就是用基本對稱式表示之

令 \( \alpha =x+y, \beta= xy \) 則 x,y 為 \( t^2 - \alpha t+\beta = 0 \) 之兩實根

因此 \( \alpha^2-4\beta \geq 0 \) 又 \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可得 \( |\alpha|\leq2\sqrt{2} \)

而由  \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可將目標函數改為 \( g(\alpha)=\alpha^{3}-\alpha^{2}-5\alpha \)

微分得 \( g'(\alpha)=(3\alpha-5)(\alpha+1)\)

代入  critical point 得： \( g(2\sqrt{2})=6\sqrt{2}-8, g(- 2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}-8, g(-1)=3, g(\frac{5}{3})=-\frac{175}{27} \)

故最大值為 3，最小值為 \( -6\sqrt{2}-8 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-10-22 22:41 編輯 ]

計算 1. 可以用正弦定理去表示 \( \overline{BC} \) 和 \( \overline{CD} \) 的長度，

分別為 \( 2 \sin x, 2 \sin y \) 其中 \( x+y =60^\circ \)

再利用和差化積可得 \( \sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)

其中 \( \sin \frac{x+y}{2} = \frac12 , \cos \frac{x-y}{2} \leq 1 \)

故得 \( x=y =30^\circ \) 時 \( \sin x + \sin y\) 有最大值

故得 \( \overline{BC} = \overline{CD} =1 \) 時有最大周長

填 5. 誠如 weiye 老師在 29# 連結中所提到的，該式對於變數是反對稱 (交換，值變號)

所以讓在下做一下傻事，把它平方，就會變成常數

\( (\alpha-\beta)^{2}(\beta-\gamma)^{2}(\gamma-\alpha)^{2}=\sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2} \)

以上的記號上 \( \sum \) 裡是跑對稱項，如 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2} = \alpha^4\beta^2+\alpha^4\gamma^2+\beta^4\alpha^2+\beta^4\gamma^2+\gamma^4\alpha^2+\gamma^4\beta^2 \) 有六項，\( \sum\alpha^{3}\beta^{3} \) 則有三項

接下來先計算 \( \alpha^n + \beta^n + \gamma^n \)，再利用這些值去表示各項

\( \alpha\beta\gamma=1 \)
\( \alpha+\beta+\gamma=0 \)
\( \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=2 \)
\( \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=\alpha+\beta+\gamma+3=3 \)
\( \alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\alpha+\beta+\gamma=2 \)
\( \alpha^{5}+\beta^{5}+\gamma^{5}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=5 \)
\( \alpha^{6}+\beta^{6}+\gamma^{6}=\alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}+\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=5 \)

\( \sum\alpha^{4}\sum\alpha^{2}=\sum\alpha^{6}+\sum\alpha^{4}\beta^{2}\Rightarrow\sum\alpha^{4}\beta^{2}=-1 \)

\( \sum\alpha^{4}\beta\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{3}=3 \)

\( (\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3})^{2}=\sum\alpha^{6}+2\sum\alpha^{3}\beta^{3}\Rightarrow\sum\alpha^{3}\beta^{3}=2 \)

\( \sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta \) ，

而 \( \sum\alpha^{2}\sum\alpha=\sum\alpha^{3}+\sum\alpha^{2}\beta\Rightarrow\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta=-3 \)

綜合以上有 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}=-1-6-4-6-6=-23 \)

因此所求 \( = \pm \sqrt{23} i \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-21 10:43 PM 編輯 ]

為向老王老師致敬，再補一個證明，還有考試的時候不要這樣做

如下圖：B, D 為 AC 優弧和劣弧上的中點，E 為 AC 劣優上之點且不為 A,D,C
試證 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)

Ptomley.png (17.65 KB)

2013-4-21 23:01

證. 圓內接四邊形中ABCD，由托勒密定理有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = \overline{AD}\cdot\overline{BC} + \overline{DC}\cdot\overline{AB} \)
(注意 \( \overline{BD} \) 為圓之直行，由面積亦可得此式)

其中 \( \overline{AB} = \overline{BC} \)，故可改寫為 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = (\overline{AD} + \overline{DC})\cdot\overline{BC}\)

同理對圓內接四邊形 ABCE 亦有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BE} = (\overline{AE} + \overline{EC})\cdot\overline{BC}\)

因 \( \overline{BD} \) 為直徑，故 \( \overline{BD} > \overline{BE} \)

再以上式比較托勒密所得之二式，即可得 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)

利用 \( \alpha, \beta, \gamma \) 滿足三次式 \( x^3 -x - 1 = 0 \)

因此有 \( \alpha^{n+3} = \alpha^{n+1} + \alpha^{n} \),  \( \beta, \gamma \) 亦同

故有遞迴關係 \( \sum \alpha^{n+3} = \sum \alpha^{n+1} + \sum \alpha^n \)

以此遞迴式計算之 35# 所列之式子

不是二項分配，但算法一樣。

二項分配是"獨立"且相同分布的白努力隨機變數相加

而99高雄高中那題，則是"非獨立"且相同分布白努力隨機變數相加

回復 44# thepiano 的帖子
thepiano 兄的另解真酷，竟然走了 Fubini 定理的路子！

以下用符號的方式來解釋，不過顯然沒有比 thepiano 老師的文字說明還要清楚，只是單純賣弄一下符號而已

以 \( \omega \) 表示一個樣本點(一條捷徑), \( n(\omega) = \sum \chi_i(\omega) \)

其中 \( \chi_i \) 為表示第 i 到 i+1 是否有轉彎的函數，有為 1，無為 0。

期望值 \( \sum n(\omega) P(\omega) = \frac{1}{C^{18}_9}\sum n(\omega) = \displaystyle \frac{1}{C^{18}_9} \sum_\omega \sum_i \chi_i(\omega)\)

交換兩個 \( \sum \) 的順序，就得到 thepiano 老師的式子

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-9-21 10:32 PM 編輯 ]