填充題 1. 設空間中一直線 L: x - 1 = (y - k) / 2 = (z - 4) / 3，其中 k 為實數。在所有可能的 k 值之下，點 P (1, 0, 3) 到直線 L 距離的最小值為?


解: 除了使用參數式的代數方法，亦可引用幾何性質:

當 k 遍歷所有實數，諸直線 L 的聯集為一平面 E。P 在 E 上的投影點為 P'，則 PP' 為 P 至某 L 的距離，且其為所有 d (P, L) 的最小值。

由 E 上的兩向量 (0, 1, 0) 與 (1, 2, 3)，用點向式得 E: 3x - z +1 = 0。

所求 = d (P, E) = 1/√10



(6樓 計算4  問: 有上/下界要怎麼證明?  答: 因 <an> 有不動點 -3, -1, 4，且 f(x) = (x³ - 12)/13 嚴格遞增)

填充題 7.  圓 C: x² + y² - 24x - 28y - 36 = 0 內有一點 Q (4, 2)，過 Q 做直角三角形 AQB 交圓於 A、B 兩點，且 ∠AQB = 90°，若 AB 的中點為P，則 P 的軌跡方程式為?


(提供一個不用"神來之筆"的想法)

構想: 分析 P 滿足的條件 → 分析 P 的充要條件 → 得到 P 的軌跡方程式


由 P 是直角三角形的斜邊中點，聯想到:  △ABC 中，M  為 BC 中點，則: AM = BM ⇔∠A = 90°

因此，P(x ,y) 的充要條件為:

PQ = (以 P 為中點的弦長) / 2

⇔ PQ² = - (P 對圓 C的冪)   [ 引用 "冪" 只是為了簡化計算，並非必要。逕用畢氏定理亦可。]

⇔  (x - 4)² + (y - 2)² = - (x² + y² - 24x - 28y - 36) [ 圓的平方項係數 = 1 時，"代入" 即得 "冪" ]

⇔ x² + y² - 16x - 16y - 8 = 0

填充題 8. 多選題的每題有四個選項，其中至少有一個是正確的。所有選項均答對者得 8 分，恰答錯一個選項者得 4 分，其餘情形皆算 0 分。若小綠此題有作答 (且為隨意亂猜)，則她此題得分的期望值為? 答: 344/225


易知所有選項均答對機率 = 1/15，以下只考慮恰答錯一個選項的機率 P。


想法一: 用古典機率 (基本上與 12 樓 Tsusy 老師的方法相同)

母群體為: (2⁴-1)² = 225

恰錯一個選項的方法數: 選出"錯的選項"後，每個選項皆有 2 種情形; 再扣掉有"空集合"的情況 = C(4,1)*2⁴ - 2*4 = 56

故 P = 56/225

(ps. 本題若無 "至少有一個選項是正確的" 這個破壞規律的附加條件，則母群體可用 2⁴ = 16)



想法二: 以"選項"為主角思考

分析: 15 個可能的答案組合中，含有某特定選項的有 2³ = 8 個 (某選項的出現率 = 8/15)。在前述 8 個組合中，含或不含另一特定選項者各占其半。例: n(有a) = 8 ，而 n(有a有c) = n(有a無c) = 4。

P =15 個可能的答案組合隨機 (可重複地) 取 2 次，恰有一個選項不一致的機率: 選出 "不一致" 的選項後，其它任一選項 "一致" 的機率皆為 1/2  (依據上文紅字所述)。

故 P = C(4,1)*2*(8/15)*(7/15)*(1/2)³ = 56/225  (藍字部分為"某選項不一致的機率")