計算4
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) \) ，求收斂範圍及收斂值。
考慮此數列的遞增遞減範圍，也就是找
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{13}(a_n^3-12) > a_n \) 的範圍
\(\displaystyle (a_n+3)(a_n+1)(a_n-4) > 0 \)
\(\displaystyle -3 < a_n < -1 or 4 < a_n \)
意即若 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 or 4 < a_1 \)，數列 \( <a_n> \) 遞增； (感謝 rudin 提醒)
當 \(\displaystyle a_1=-3, -1, 4 \) ，數列 \( <a_n>=<-3> , <-1> , <4> \)
當 \(\displaystyle a_1 < -3 or -1 < a_1 < 4 \) ，數列 \( <a_n> \) 遞減。
所以
當 \(\displaystyle a_1 > 4 \) ，\( <a_n> \) 發散；
當 \(\displaystyle a_1 = 4 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow 4 \)；
當 \(\displaystyle -1 < a_1 < 4 \) ，\( <a_n> \) 遞減有下界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -1 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle -3 < a_1 < -1 \) ，\( <a_n> \) 遞增有上界， \(\displaystyle a_n \rightarrow -1 \)；
當 \(\displaystyle a_1 = -3 \) ，\(\displaystyle a_n \rightarrow -3 \)；
當 \(\displaystyle a_1 < -3 \) ，\( <a_n> \) 發散。
綜上所述，當 \(\displaystyle -3 \le a_1 \le 4 \) ，\( <a_n> \) 收斂；收斂值為 \(\displaystyle -3, -1, 4 \)
[
本帖最後由 老王 於 2012-6-27 04:09 PM 編輯 ]
