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101國立陽明高中

1.
在矩形ABCD中,若\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=2 \sqrt{3} \),過\( \overline{AC} \)的中點O作\( \overline{EF} \perp \overline{AC} \)交\( \overline{AD} \)於E、交\( \overline{BC} \)於F,將平面ABFE沿\( \overline{EF} \)摺起,使得平面ABFE垂直平面CDEF,求此時\( cos∠BFC= \)?

設有一張長方形的紙ABCD,已知\( \overline{AB}=8 \),\( \overline{BC}=4 \),通過對角線\( \overline{BD} \)的中點M且垂直於\( \overline{BD} \)的直線分別交\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)於E、F兩點,當以\( \overline{EF} \)為折線把紙ABCD折起來,使得平面AEFD垂直於平面EBCF,此時若\( ∠CFD=\theta \),\( 0<\theta<\pi \),則\( cos \theta= \)?
(100學年度北區第二次模擬考數甲,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066

5.
由邊長為1的正三角形堆疊n層,試問邊長為6時(即\( a_6 \) ),所有大大小小之平行四邊形總數為

102.3.28補充
有多少個平行四邊形?
http://books.google.com.tw/books ... e&q&f=false

102.4.23補充
The sides of an equilateral triangle ABC are divided into n equal parts ( \( n \ge 2 \) ). For each point on a side, we draw the lines parallel to other sides of the triangle ABC, e.g. for \( n=3 \) we have the following diagram:

For each \( n \ge 2 \) find the number of existing parallelograms.
(Canada National Olympiad 1991,https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1991.pdf)

110.5.3補充
設\(\overline{AB}\)為圓\(x^2+y^2=37\)的一弦,若點\(P(1,2)\)在\(\overline{AB}\)上,且為\(\overline{AB}\)的三等分點之一,試求直線\(AB\)的方程式   
(110彰化女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)

附件

平行四邊形有幾個.zip (19.65 KB)

2012-6-26 21:31, 下載次數: 12472

1991加拿大奧林匹克.gif (98.42 KB)

2013-4-23 21:47

1991加拿大奧林匹克.gif

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引用:
原帖由 cellistlu 於 2013-4-9 20:07 發表
Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合
3.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)均為正數,且\(36x+9y+4z=49\),求\(\root 3 \of{x}+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26}\)的最大值為   
[解答]
根據廣義的柯西不等式\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3 \ge 0\)都是非負實數
則必\( (a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^3 \)
僅當\(a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2=a_3:b_3:c_3=\root 3 \of A:\root 3 \of B:\root 3 \of C\)時等號成立
其中\(a_1^3+a_2^3+a_3^3=A\),\(b_1^3+b_2^3+b_3^3=B\),\(c_1^3+c_2^3+c_3^3=C\)。
http://www3.cnsh.mlc.edu.tw/~mat ... equality_3-2-2_.pdf

\( \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right)\ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
thepiano的係數\( \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right) \)就是從等號成立時的條件找出來的

假設原來係數不知道
\(  \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] (b_1^3+b_2^3+b_3^3) (c_1^3+c_2^3+c_3^3) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
\( \root 3 \of{36x}\cdot b_1 \cdot c_1=\root 3 \of x \),得到\( \displaystyle b_1 \cdot c_1=\frac{1}{\root 3 \of{36}} \)…(1)
\( \root 3 \of{9(y+7)}\cdot b_2 \cdot c_2=\root 3 \of {y+7} \),得到\( \displaystyle b_2 \cdot c_2=\frac{1}{\root 3 \of 9} \)…(2)
\( \root 3 \of{4(z+26)}\cdot b_3 \cdot c_3=\root 3 \of {z+26} \),得到\( \displaystyle b_3 \cdot c_3=\frac{1}{\root 3 \of 4} \)…(3)

等號成立時
\( \root 3 \of{36x}:b_1:c_1 = \root 3 \of{9(y+7)}:b_2:c_2 = \root 3 \of{4(z+26)}:b_3:c_3=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{b_1^3+b_2^3+b_2^3}:\root 3 \of{c_1^3+c_2^3+c_2^3} \)…(4)

利用(1)(2)(3)式替換
\( \displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1}:c_1 =\root 3 \of{9(y+7)}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2}:c_2 =\root 3 \of{4(z+26)}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3}:c_3 \)

\(  \displaystyle \frac{\root 3 \of{36x}}{c_1}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}:1 =\frac{\root 3 \of{9(y+7)}}{c_2}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}:1 =\frac{\root 3 \of{4(z+26)}}{c_3}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}:1 \)

\( \displaystyle \frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}=\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}=\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}=t^2 \)

\( \displaystyle c_1=\frac{1}{\root 3 \of 6 t} \),\( \displaystyle c_2=\frac{1}{\root 3 \of 3 t} \),\( \displaystyle c_3=\frac{1}{\root 3 \of 2 t} \)

利用(1)(2)(3)式替換
\( \displaystyle b_1=\frac{t}{\root 3 \of 6} \),\( \displaystyle b_2=\frac{t}{\root 3 \of 3} \),\( \displaystyle b_3=\frac{t}{\root 3 \of 2} \),

代入(4)式
\( \displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{t}{\root 3 \of 6}:\frac{1}{\root 3 \of 6 t} = \root 3 \of{9(y+7)}:\frac{t}{\root 3 \of 3}:\frac{1}{\root 3 \of 3 t} = \root 3 \of{4(z+26)}:\frac{t}{\root 3 \of 2}:\frac{1}{\root 3 \of 2 t}=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{\frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}}:\root 3 \of{\frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3}} \)

\( \displaystyle \root 3 \of{216x}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{27(y+7)}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{8(z+26)}:t:\frac{1}{t}=6:t:\frac{1}{t} \)

\( \root 3 \of{216x}=6 \),得到\(x=1\)
\( \root 3 \of{27(y+7)}=6 \),得到\(y=1\)
\( \root 3 \of{8(z+26)}=6 \),得到\(z=1\)

取\( \displaystyle t=\root 3 \of{\frac{3}{2}} \)
\( \displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{4}},b_2=\root 3 \of{\frac{2}{4}},b_3=\root 3 \of{\frac{3}{4}} \),\( \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{9}},c_2=\root 3 \of{\frac{2}{9}},c_3=\root 3 \of{\frac{3}{9}} \)
就是thepiano的係數\( \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right)\left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right) \)

或者取\( t=1 \)
\( \displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},b_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},b_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} \),\( \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},c_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},c_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} \)
係數就變成\( \displaystyle \left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right) \)

但無論\(t\)值為多少
\( \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)]\left( \frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2} \right)\left( \frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)

\( \displaystyle [216](t^3)\left( \frac{1}{t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)

\( 6 \ge \root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26} \)

最大值都是6

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