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101國立陽明高中

回復 1# m4su6 的帖子

第四題
在棋盤格街道走法中,取走捷徑的情況下,從左下角的\(A\)走到右上角的\(B\),途中恰轉彎五次,則總走法數為   
[提示]
慢慢數應該OK吧,而且題目的圖形對稱,所以先算向右的,再乘以 \( 2 \) 就可以。

第八題
兩個二次函數\(f(x)\)與\(g(x)\),若\(g(x)=-f(100-x)\)且函數\(g(x)\)的圖形包含函數\(f(x)\)圖形的頂點。兩個函數圖形與\(x\)軸交點的\(x\)坐標按照遞增依序為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)及\(x_4\),且\(x_3-x_2=150\)。設\(x_4-x_1=p+q\sqrt{r}\),其中\(p\)、\(q\)及\(r\)均為正整數,且\(r\)不能被任何質數的平方整除。試求\(p-q-r=\)   
[解答]
(一看就覺得是ARML的型式)
\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 對稱於 \( (50,0) \) ,開口大小相同方向相反。
不妨平移至對稱點為原點,那麼 \( x_1,x_2,x_3,x_4 \) 是兩組對稱於原點的點;
又由題意知 \( x_1,x_4 \) 、 \( x_2,x_3 \) 為對稱於原點,否則頂點不會在對方的圖形上,
所以知道 \( x_2=-75,x_3=75 \) 。
假設 \( x_1=-t,x_4=t \)
兩多項式為 \( f(x)=a(x+t)(x-75) , g(x)=-a(x+75)(x-t) \)
以 \( f(x) \) 的頂點 \( x=\frac{75-t}{2} \) 代入會有相同的函數值,(方便起見將 \( 75=k \) )
\(\displaystyle a(\frac{k-t}{2}+t)(\frac{k-t}{2}-k)=-a(\frac{k-t}{2}+k)(\frac{k-t}{2}-t) \)
\(\displaystyle (k+t)(-k-t)=-(3k-t)(k-3t) \)
\(\displaystyle k^2+2kt+t^2=3k^2-10kt+3t^2 \)
\(\displaystyle t^2-6kt+k^2=0 \)
\(\displaystyle t=3k+\sqrt{8k^2}=3k+2k\sqrt{2}=225+150\sqrt{2} \)  因為 \(\displaystyle 3k-2k\sqrt{2} < k \) 不合。
所以 \(\displaystyle x_4-x_1=2t=450+300\sqrt{2} \)

話說第六題和第七題,跟昨天學生拿參考書的題目來問的題目一樣。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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填充6
甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會,正巧遇到四位女姓朋友,第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴),第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴,但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽),請問:第二支舞甲又沒有 抽中舞伴的機率為何[u]   [/u]。
[解答]
分母部分就是 \( 5 \) 個人中有 \( 4 \) 個限制的錯排,
\( 5!-4 \cdot 4!+6 \cdot 3!-4 \cdot 2!+1 \cdot 1!=120-96+36-8+1=53 \)
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回復 15# shingjay176 的帖子

我的做法跟鋼琴老師一樣。
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