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101國立陽明高中

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101國立陽明高中

方便請教填充4 填充8嗎?

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101陽明高中.pdf (228.3 KB)

2012-6-22 09:52, 下載次數: 2727

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回復 1# m4su6 的帖子

第四題,慢慢數應該OK吧,而且題目的圖形對稱,所以先算向右的,再乘以 \( 2 \) 就可以。

第八題(一看就覺得是ARML的型式)
\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 對稱於 \( (50,0) \) ,開口大小相同方向相反。
不妨平移至對稱點為原點,那麼 \( x_1,x_2,x_3,x_4 \) 是兩組對稱於原點的點;
又由題意知 \( x_1,x_4 \) 、 \( x_2,x_3 \) 為對稱於原點,否則頂點不會在對方的圖形上,
所以知道 \( x_2=-75,x_3=75 \) 。
假設 \( x_1=-t,x_4=t \)
兩多項式為 \( f(x)=a(x+t)(x-75) , g(x)=-a(x+75)(x-t) \)
以 \( f(x) \) 的頂點 \( x=\frac{75-t}{2} \) 代入會有相同的函數值,(方便起見將 \( 75=k \) )
\(\displaystyle a(\frac{k-t}{2}+t)(\frac{k-t}{2}-k)=-a(\frac{k-t}{2}+k)(\frac{k-t}{2}-t) \)
\(\displaystyle (k+t)(-k-t)=-(3k-t)(k-3t) \)
\(\displaystyle k^2+2kt+t^2=3k^2-10kt+3t^2 \)
\(\displaystyle t^2-6kt+k^2=0 \)
\(\displaystyle t=3k+\sqrt{8k^2}=3k+2k\sqrt{2}=225+150\sqrt{2} \)  因為 \(\displaystyle 3k-2k\sqrt{2} < k \) 不合。
所以 \(\displaystyle x_4-x_1=2t=450+300\sqrt{2} \)

話說第六題和第七題,跟昨天學生拿參考書的題目來問的題目一樣。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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1.
在矩形ABCD中,若\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=2 \sqrt{3} \),過\( \overline{AC} \)的中點O作\( \overline{EF} \perp \overline{AC} \)交\( \overline{AD} \)於E、交\( \overline{BC} \)於F,將平面ABFE沿\( \overline{EF} \)摺起,使得平面ABFE垂直平面CDEF,求此時\( cos∠BFC= \)?

設有一張長方形的紙ABCD,已知\( \overline{AB}=8 \),\( \overline{BC}=4 \),通過對角線\( \overline{BD} \)的中點M且垂直於\( \overline{BD} \)的直線分別交\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)於E、F兩點,當以\( \overline{EF} \)為折線把紙ABCD折起來,使得平面AEFD垂直於平面EBCF,此時若\( ∠CFD=\theta \),\( 0<\theta<\pi \),則\( cos \theta= \)?
(100學年度北區第二次模擬考數甲,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066

5.
由邊長為1的正三角形堆疊n層,試問邊長為6時(即\( a_6 \) ),所有大大小小之平行四邊形總數為

102.3.28補充
有多少個平行四邊形?
http://books.google.com.tw/books ... e&q&f=false

102.4.23補充
The sides of an equilateral triangle ABC are divided into n equal parts ( \( n \ge 2 \) ). For each point on a side, we draw the lines parallel to other sides of the triangle ABC, e.g. for \( n=3 \) we have the following diagram:

For each \( n \ge 2 \) find the number of existing parallelograms.
(Canada National Olympiad 1991,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1991)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-4-23 09:48 PM 編輯 ]

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平行四邊形有幾個.zip (19.65 KB)

2012-6-26 21:31, 下載次數: 1907

1991加拿大奧林匹克.gif (98.42 KB)

2013-4-23 21:47

1991加拿大奧林匹克.gif

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想請教填充第2,3,6題,謝謝

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回復 4# 阿光 的帖子

給點想法,

填充 2. 畫折線圖,沒意外,斜率就是 \( 1, 3 \) 跳來跳去而已
眼花了...懶憜不動筆...結果是斜率看錯了是 \( 1, -1 \) 才對

填充 3. 廣義柯西不等式,湊一下

填充 6. 分子是排同計算錯排,分母也是排容很像錯排

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-26 07:22 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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謝謝tsusy老師的提示,填充 2. 畫折線圖,斜率就是 1與-1  跳來跳去
想再請教填充第5,6題,謝謝

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填充第6題還是搞不懂,想再請教一下,謝謝

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引用:
原帖由 阿光 於 2012-6-27 08:10 AM 發表
填充第6題還是搞不懂,想再請教一下,謝謝
分子=乙丙丁戊等4人錯排=4!-4x3!+6x2!-4x1!+0!=9
分母要分2種情形:
沒有甲,即=分子=9
有甲及另外3人-->C(4,3)
此時再分2種情況:
1)甲的舞伴就是沒有抽籤中的那個男生的舞伴:此時就是3人錯排=3!-3x2!+3x1!-0!=2
2)甲的舞伴是中籤那3個男生原先任1人的舞伴C(3,1),剩下那3個男生,去選舞伴,但有2人不可以
和第1輪的舞伴一樣3!-2x2!+1!  所以 C(3,1)x(3!-2x2!+1!)=9
共有2+9=11
所以C(4,3)x11=44
即分母=9+44=53
機率=9/53

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回復 8# youngchi 的帖子

填充 6. 提供另外一個計算分母的方法,

把空氣當作第五位舞伴,那麼可分成兩種情形 (1)甲仍然和空氣跳舞 (2) 甲不和空氣跳舞

(1) 之情況即乙丙丁戊 4人錯排,同子為 9

(2) 之情況即 5 人錯排 \( 5! - 5\cdot 4!+10\cdot 3!-10\cdot 2!\cdot 5-1 =44 \)
文不成,武不就

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填充6
分母部分就是 \( 5 \) 個人中有 \( 4 \) 個限制的錯排,
\( 5!-4 \cdot 4!+6 \cdot 3!-4 \cdot 2!+1 \cdot 1!=120-96+36-8+1=53 \)
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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