填充題第六題：
已知\( n \in N \)，且\( n \)為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n \)之值為 。
[解答]
令\( n=6k \) \( k \)為正整數
\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n=C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)
\( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)
\( x^3-1=0 \)三根為\( \omega,\omega^2,\omega^3=1 \) \( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \) \( \omega^2+\omega+1=0 \)
\( (1+x)^{6k}=C_0^{6k}x^0+C_1^{6k}x+C_2^{6k}x^2+C_3^{6k}x^3+\ldots+C_{6k}^{6k}x^{6k} \)
\( x=1 \) \( 2^{6k}=C_0^{6k}+C_1^{6k}+C_2^{6k}+C_3^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)
\( x=\omega \) \( (1+\omega)^{6k}=C_0^{6k}\omega^0+C_1^{6k}\omega^1+C_2^{6k}\omega^2+C_3^{6k}\omega^3+\ldots+C_{6k}^{6k}\omega^{6k} \)
\( x=\omega^2 \) \( (1+\omega^2)^{6k}=C_0^{6k}(\omega^2)^0+C_1^{6k}(\omega^2)^1+C_2^{6k}(\omega^2)^2+C_3^{6k}(\omega^2)^3+\ldots+C_{6k}^{6k}(\omega^2)^{6k} \)
上面三個等式相加
\( 2^{6k}+(1+\omega)^{6k}+(1+\omega^2)^{6k}=3(C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}) \)
\( 1+\omega=-\omega^2 \)，\( (1+\omega)^{6k}=(-\omega^2)^{6k}=(\omega^3)^{4k}=1 \)
同法得到\( (1+\omega^2)^{6k}=1 \)
\( \displaystyle C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}=\frac{1}{3}(2^{6k}+1+1)=\frac{1}{3}(2^n+1+1) \)
這個題目\( n \)為六的倍數，其實只要是三的倍數，答案都會一樣。
