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101松山家商

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引用:
原帖由 jmfeng2001 於 2012-6-20 08:47 PM 發表
不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝
計算三:已知\( a_0=1 \),且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \),其中\( n \)為任意正整數。試證:\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \),\( n \in N \)。
我的方法參考看看  (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
處,需再證:\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分,即可證明

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第2,3,4題

填充第二題:
設\( \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-3x} \)。令\( f_1(x)=f(f(x)) \),且\( f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) \),\( n \ge 2 \)且\( n \in N \),則\( f_{2012}(2012) \)之值為   

\( \displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} \),\( \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x \),\( \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) \),…
每三個一循環,故\( f_{2012}(x)=f_2(x)=x \)


填充第三題:
若\( z \)為複數,\( \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} \),\( \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} \),則\( z \)之值為   

\( z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) \) 即可解出\( z \)



填充第四題:
在袋中有紅球、白球各100個,每次從中取出一個球,若為紅球即得1分,白球不計分,滿足下列任一條件即停止:(1)得分達5分,(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法?   

(5紅)+(球數達10顆)\( =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638 \)

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我想問第1題

有高手可以幫忙解答第一題嗎?   orz

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