想請教填充4的5紅 老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?
另外 填充7如何算 ? 謝謝

引用:

想請教填充4的5紅 老師的解法 C(4,4)+C(5,4)+...+C(9,4) 該如何解釋 ?

在第五科紅球的前面有四紅的排列，
在第五科紅球的前面有四紅一白的排列，
在第五科紅球的前面有四紅兩白的排列，
‧‧‧
在第五科紅球的前面有四紅九白的排列。

填充第 7 題：
已知空間中兩點\(A(7,6,3)\)、\(B(5,-1,2)\)，直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，且\(P\)為\(L\)上之點。若\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，\(P\)點之坐標為　　　。
[解答]
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)

則 \(\overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-7\right)^2+\left(t-6\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-3\right)^2}+\sqrt{\left(\left(1+2t\right)-5\right)^2+\left(t+1\right)^2+\left(\left(3-2t\right)-2\right)^2}\)

　　　　　　　\(=\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)

　　　　　　　\(=\sqrt{\left(3t-6\right)^2+36}+\sqrt{\left(3t-3\right)^2+9}\)

可以看成是平面上的動點 \(Q(3t,0)\) 到兩點 \(C(6,6)\) 與 \(D(3,-3)\) 的距離和 \(\overline{QC}+\overline{QD}\)

\(\overline{QC}+\overline{QD}\geq \overline{CD}=3\sqrt{10}\)

此時 \(\displaystyle \frac{3t-6}{0-6}=\frac{3-6}{(-3)-6}\Rightarrow t=\frac{4}{3}\)

可得 \(P\) 點坐標。

填充題第六題：
已知\( n \in N \)，且\( n \)為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n \)之值為　　　。
[解答]
令\( n=6k \)　\( k \)為正整數
\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+\ldots+C_n^n=C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)

\( x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \)
\( x^3-1=0 \)三根為\( \omega,\omega^2,\omega^3=1 \)　\( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)　\( \omega^2+\omega+1=0 \)

\( (1+x)^{6k}=C_0^{6k}x^0+C_1^{6k}x+C_2^{6k}x^2+C_3^{6k}x^3+\ldots+C_{6k}^{6k}x^{6k} \)
\( x=1 \)　\( 2^{6k}=C_0^{6k}+C_1^{6k}+C_2^{6k}+C_3^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k} \)
\( x=\omega \)　\( (1+\omega)^{6k}=C_0^{6k}\omega^0+C_1^{6k}\omega^1+C_2^{6k}\omega^2+C_3^{6k}\omega^3+\ldots+C_{6k}^{6k}\omega^{6k} \)
\( x=\omega^2 \)　\( (1+\omega^2)^{6k}=C_0^{6k}(\omega^2)^0+C_1^{6k}(\omega^2)^1+C_2^{6k}(\omega^2)^2+C_3^{6k}(\omega^2)^3+\ldots+C_{6k}^{6k}(\omega^2)^{6k} \)

上面三個等式相加
\( 2^{6k}+(1+\omega)^{6k}+(1+\omega^2)^{6k}=3(C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}) \)
\( 1+\omega=-\omega^2 \)，\( (1+\omega)^{6k}=(-\omega^2)^{6k}=(\omega^3)^{4k}=1 \)

同法得到\( (1+\omega^2)^{6k}=1 \)
\( \displaystyle C_0^{6k}+C_3^{6k}+C_6^{6k}+\ldots+C_{6k}^{6k}=\frac{1}{3}(2^{6k}+1+1)=\frac{1}{3}(2^n+1+1) \)
這個題目\( n \)為六的倍數，其實只要是三的倍數，答案都會一樣。

想請問bugments 老師 的 10# 第一題
f(0)= -3 是如何得到
謝謝

只問 f(0) 很奇怪，實際上 bugmens 大所列的數字，有很多都是題目沒給的

-3      0      2
     3      2
         -1
             2      2      2      2

右上方那塊則是題目有給的，但形狀不同，有給的和沒給的是什麼關係？

而你的困境在於由左而右，由上到下的自然書寫順序。

但實際上題目給的數字卻是在右上方，bugmens 的書寫順序自然和你想的不同，

所以從問 f(0) 開始，就問錯問題了

另外，可以參考100北一女中這篇的討論串

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:19 PM 編輯 ]

請問版上老師計算3, bugmens老師在第20樓

留下一個不等式(an)^2+(1/(an)^2)+2>(16n/9)+2一直看不明白怎麼得到的?  請賜教

他有說是數學歸納法

謝謝鋼琴老師,這樣有懂