15 題
由 \( X+Y=I \) and \( XY=O \Rightarrow X^{2}=X, Y^{2}=Y, YX=O \)。
\( A=aX+bY\Rightarrow AX=aX^{2}=aX\Rightarrow (A-aI)X=O \)。
故 \( a \) 為 \( A \) 之特徵值，且 \( X \) 之兩行向量皆為 \( a \) 對應之特徵向量。
\( Y,b \) 亦同。
\( \det(A-xI)=(x-5)(x+2) \) 故 \( a=5>-2=b \)。
計算特徵向量得 \( X=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix}
, Y=\begin{bmatrix}4\\
-3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}w & z\end{bmatrix} \)。
\( X+Y=\begin{bmatrix}1 & 4\\
1 & -3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u & v\\
w & z
\end{bmatrix}=I_{2}\Rightarrow\begin{bmatrix}u & v\\
w & z
\end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}3 & 4\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)。
故 \( X^{10}=X=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3}{7} & \frac{4}{7}\\
\frac{3}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix} \)。
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台中女中和
台南二中也有類似之題
