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小 發表於 2016-9-29 23:38 顯示全部帖子
計算題
1. A (3,1,2) 為空間中一點，P、Q 為 xy 平面上以原點 O 為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點，試計算下列問題：
(1) 內積 AP．AQ =？
(2) cos∠PAQ 的最大值與最小值。
(3) cos∠PAQ 為最小值時，ΔPAQ 的面積為何？
解:
(1) 所求 = AO² - r² = 14 - 4 = 10
(2)(3) 雖然題意暗示用內積，但亦可利用幾何性質來解。
平面上給定一線段 PQ (中點為 O)，滿足∠PAQ 為定值 [範圍: (0, 180°)] 的動點 A，其構成對稱於 PQ 的兩圓弧。再思考當∠PAQ 變化時，兩圓弧的動態變化。依此考慮 AO 為定值時，∠PAQ 之值，可得如下結論:
1. 若 AO > PO ("A 在圓外")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈大
2. 若 AO < PO ("A 在圓內")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈小
3. 若 AO = PO ("A 在圓上")，則 ∠PAQ = 定值 (90°)
把以上結論應用於本題的 A, P, Q 所在平面 (屬於第 1 種情形):
cos∠PAQ 最小 (∠PAQ 最大) 時，AO 垂直 PQ。
cos∠PAQ 最大 (∠PAQ 最小) 時，即把前述 PQ 旋轉 90° 時 (考慮 AP 長與∠AOP 關係即知)，且在此 A, P, Q 所在平面垂直 xy 平面 (若不易體會，可用三垂線定理證之)。
參考圖示h ttp://imgur.com/W0WPdrF
cos∠PAQ 的最大值: 如上圖左，tan∠PAQ = 4/5 (差角公式) ⇒ cos∠PAQ = 5/√41
cos∠PAQ 的最小值: 如上圖右，tan(∠PAQ/2) = 2/√14 ⇒ cos∠PAQ = 5/9，此時 aΔPAQ = 2√14
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