計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式

不過猜測 \(\displaystyle P_{1}(x)=\frac{1}{(-3)}(x^{2}-4) \), \(\displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{3}(x^{2}-1) \)

也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式

計算 2. 不要被嚇到了，題目都叫我們猜了，當然是列個幾項猜答案，然後證明之。

\( n=2\), \( 1225=35^2 \)

\( n=3 \), \( 112225=335^2 \)

看到這已經猜出答案了。

以完全平方公式計算得 \( 333..335^2  = 333..33 \times 333..34\times 10^2 +25 \)

前面相乘補一個 \( \frac33 \) 給它得 \( 999..99\times 333..34\div 3\)

\( 999..99 \) 寫成 \( 1000..00-1 \) 分配乘開得 \( (333..34000..00-333..34)\div 3 = 333..33666..66\div 3 =111..11222..22 \)

補上兩個 0 加 25，就得 \( 333..335^2  = 111..11222..2225 \)

註：以上所有的 aaa..aa 長度一樣長

一般的任意比例的確，的確很難算。

但這題的是特殊比例，應該關注 \( 2 \overline{PL}: 3\overline{PM}: 4\overline{PN}=1:1:1 \)

再回到 (1) 時，就知道這三個量的意義了

計算3

因為前面一段 柯西不等式沒人寫。

由面積和柯西不等式可得在 \( 2\overline{PL}=3\overline{PM}=4\overline{PN} \) 時會發生極值

後面由面積得到重心的，前面已有人討論過了。

回復 33# natureling 的帖子

計算3

一般我們將 Lagrange 插值多項式寫作 \( \sum c_k p_k(x) \) 之型式，其中 \( p_k \) ...(不會形容)

但如果不把 \( p_k \) 的式子詳細寫下了，我們還是知道 \( p_k(x_l) = \delta_{kl} \)，其中 \( \delta_{kl}\)  為 Kronecker  記號。

所以其實的我猜測，是將 \( p_k \) 的性質推廣過來，而反 \( p_k \) 的形狀

這就像是平常寫證明的時候，從對稱性可以加入一些不失一般性的假設

\(x_1, x_2,x_3,\ldots, x_{n+1} \) 如果最大的是 \( x_5 \) 重新排序

\( x_6, x_7, x_8,\ldots, x_{n+1}, x_1, x_2, \ldots, x_5 \) 重新命名為 \( y_1, y_2, \ldots, y_{n+1} \)

那麼 \( y_{n+1} \) 就是最大的啦

而對 \({x_i}\), \( {y_i} \) 來說，不等式的兩邊值是相同的

故僅須對 \( {y_i} \) 去證明原命題