第二題
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理， 得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \)
\(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1}{8} \)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt7}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle BC=CD\sin2\theta=25\sqrt{7} \)


第三題
若第一次反面，則只要剩下的 \( n-1 \) 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 \( n-2 \) 次不要連續正面就好；
故 \(\displaystyle P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2} \)
以及 \( P_1=1, P_2=\frac{3}{4} \)
剩下的就慢慢算。

第四題
前者兩根為 \( 1+i, 1-i \)
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 \( x \) 軸，只要實部不為 \( 1 \) ，必為等腰梯形，四點共圓；
\(\displaystyle D=m^2-1<0, \Rightarrow -1 < m < 1 \) ；
實部為 \( 1 \) ，\( -2m=2 \) 即 \( m=-1 \) 不在判別式的範圍內，所以這部分是 \( -1 < m < 1 \) 。
如果是相異實根，設兩根為 \( p < q \) ，顯然要有 \( p < 1 < q \) 才行，
而且直徑會在 \( x \) 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 \( (1-p)(q-1)=1^2 \)
\( -(1+2m+1)=1 \)
\(\displaystyle m=-\frac{3}{2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 07:48 PM 編輯 ]

利用伸縮變換，作出兩圓 \( x^2+y^2=a^2 \) 和 \( (x-a)^2+y^2=a^2 \)
計算兩圓交集面積再乘上 \(\displaystyle  \frac{b}{a} \) 就好。
如圖
兩圓交集面積為 \(\displaystyle 2 \times \frac{a^2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{2} \)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{2ab\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}ab}{2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 09:46 PM 編輯 ]

我的想法是，如果找到某個 \( k \) ，使得 \( f(k)=0 \)
那麼
\(\displaystyle f(x)=f(1) \frac{(x-2)(x-k)}{(1-2)(1-k)}+f(2) \frac{(x-1)(x-k)}{(2-1)(2-k)} \)
但是對於找 \( f(3) \) 的範圍似乎沒有助益。