不好意思，再把填充六提出來討論一下。
關於Katama老師的作法，總覺得太過神奇，不知道有沒有在 FunLearn 那邊討論過呢??
試過幾個作法，總是不得要領，或是覺得作法太複雜，不該是填充題的想法。(只是現在很多填充題也是滿複雜的)
底下寫出我覺得比較能夠接受的作法。
假設四根是 \( p,q,r,s \)
由根與係數關係知道
\(\displaystyle p+q+r+s=-a \)
\(\displaystyle pq+pr+ps+qr+qs+rs=2 \)
\(\displaystyle pqr+pqs+prs+qrs=-b \)
\(\displaystyle pqrs=1 \)
\(\displaystyle a^2+b^2=(p+q+r+s)^2+(pqr+pqs+prs+qrs)^2=p^2+q^2+r^2+s^2+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+8 \)
如果 \( p,q,r,s \) 都是實數，那麼由算幾不等式得到
\(\displaystyle a^2+b^2 \ge 16 \)
但是可以檢查出四根不會都相等，所以上式等號不成立。
接著討論四根不是都是實根，再由題目要求至少一實根，所以要討論兩實根兩虛根的情形。
假設 \( p,q \) 是實根， \( r,s \) 是虛根；
然後我要作一個我自己都覺得奇怪的轉換:
令 \( p+q=m, pq=n, r+s=h, rs=k \)
那麼
\(\displaystyle n+k+mh=2 \)
\(\displaystyle nk=1 \)
由第二式得到 \(\displaystyle k=\frac{1}{n} \)
代入第一式得到 \(\displaystyle h=\frac{-n^2+2n-1}{mn} \)
\(\displaystyle a^2+b^2=8+(1+n^2)[\frac{m^2-4n}{n^2}+\frac{(n-1)^4}{m^2n^2}] \)
因為 \( p,q \) 是實根，所以 \( m^2-4n \ge 0 \)
因此得到最小值以及最小值發生在 \( p=q=1 \) 的時候。
