引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:27 AM 發表
想請問填充8

上述的解題過程 運用到的數學概念是??

謝謝指教

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

填充第 1 題：

qq.png (9.54 KB)

2012-7-2 10:00

如圖，自 \(\overrightarrow{OX}\) 上任取一異於 \(O\) 的點 \(A\)，

自 \(A\) 往 \(OYZ\) 平面做垂線，垂足為 \(B\)，

自 \(B\) 往 \(\overrightarrow{OY}\) 做垂線，垂足為 \(C\)，

延長 \(\overline{BC}\) 交 \(\overrightarrow{OZ}\) 於 \(D\) 點，

由三垂線定理及 \(ASA\) 全等性質，易知 \(\triangle AOC\sim \triangle DOC\)（皆為內角 \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\) 的等腰直角三角形）

得 \(\overline{AC}=\overline{CD}\)


因為 \(\overrightarrow{OX}, \overrightarrow{OY},\overrightarrow{OZ}\) 兩兩夾角都相同，

所以 \(\overline{OB}\) 平分 \(\triangle YOZ\)，可得 \(\overline{CB}:\overline{BD}=\overline{OC}:\overline{OD}=1:\sqrt{2}\)

故，\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}} =\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.\)

第 6 題：

我也提供一個方法好了。

因為 \(x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\) 有實根，

整理成 \(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 可以視為「以\(a\)為橫坐標、以\(b\)為縱坐標的直線方程式」



\(a^2+b^2=\) 「原點到直線 \(\displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 上的任意點 \((a,b)\) 距離」的平方

　　　　\(\geq\) 「原點到直線 \(\displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0\) 距離」的平方

　　　　\(\displaystyle =\left(\frac{\left|x^3\cdot 0+x\cdot 0+\left(x^2+1\right)^2\right|}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2}}\right)^2\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\)


　　　　（（或是由柯西不等式來推得上面這個式子也可以！是一樣的！

　　　　　　因為 \(\displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2\right)\geq\left(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b\right)^2=\left(-\left(x^2+1\right)^2\right)^2 \)

　　　　　））



令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\)，則 \(\displaystyle f\,'(x)=\frac{2\left(x^4-1\right)^3}{x^3\left(x^4+1\right)^2}\)

可知當 \(x=\pm1\) 時，\(f\,'(x)=0\)，



當 \(x>1\) 時，\(f\,'(x)>0,\, f(x)\)↗

當 \(0<x<1\) 時，\(f\,'(x)<0,\,  f(x)\)↘

當 \(-1<x<0\) 時，\(f\,'(x)>0,\,  f(x)\)↗

當 \(x<-1\) 時，\(f\,'(x)<0,\,  f(x)\)↘



因此，當 \(x=\pm1\) 時，\(f(x)\) 有最小值為 \(f(\pm1)=8\)

此時，直線方程式為 \(a+b+4=0\)或\(a+b-4=0\) ，且原點在此直線上的垂足為 \((a,b)=(2,2)\) 或 \((-2,-2).\)

(承第 6 題) 後半段 \(\displaystyle a^2+b^2=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}\) 求最小值也可以改用算幾不等式

題述方程式顯然實根 \(x\) 非零，

因為 \((x^2+1)^2=(x^4+1)+2x^2\)，

由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{(x^4+1)+2x^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^4}{x^2(x^4+1)}\geq 8 \)

且當等號成立時，\(\displaystyle x^4+1=2x^2\Leftrightarrow (x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)